升维

定义：将原始的数据表示从低维空间映射到高维空间。在线性回归中，升维通常是通过引入额外的特征来实现的，目的是为了更好地捕捉数据的复杂性，特别是当数据之间的关系是非线性的时候。

目的：解决欠拟合问题，提高模型的准确率。为解决因对预测结果考虑因素比较少，而无法准确计算出模型参数问题。

常用方法：将已知维度进行自乘（或相乘）来构建新的维度。

本文主要记录的是线性回归中遇到数据呈现非线性特征时，该如何处理！

切记：对训练集特征升维后也要对测试集、验证集特征数据进行升维操作

数据准备如下：

如果对其直接进行线性回归，则拟合后的模型如下：

从上述两图可知，对于具有非线性特征的图像，不对其使用特使的处理，则无法对其产生比较好的模型拟合。

上述图像生成代码：

# 导包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 创建数据
X = np.linspace(-1,11,100)
y = (X - 5)**2 + 3*X + 12 + np.random.randn(100)
X = X.reshape(-1,1)
# display(X.shape,y.shape)
plt.scatter(X,y)

# 不升维直接用线性回归解决
model = LinearRegression()
model.fit(X,y)
X_test = np.linspace(-2,12,300).reshape(-1,1)
y_test = model.predict(X_test)
plt.scatter(X,y)
plt.plot(X_test,y_test,color = 'red')

为了使得可以对具有非线性特征的数据进行处理，生成一个较好的模型，可是实现预测的任务，于是便有了升维操作，下举例升维和不升维的区别：

不升维：二维数据x1, x2若不对其进行升维操作，则其拟合的多元线性回归公式为:
$$y=w_1\ast x_1+w_2\ast x_2+w_0$$

升维：若对二维数据x1，x2进行升维操作，则其可有5个维度（以自乘为例）：x1、x2、x1^2，x22、x1*x2，在加上一个偏置项w0，一共有六个参数，则其拟合后的多元线性回归公式为：
$$y=w_0+w_1\ast x_1+w_2\ast x_2+w_3\ast x_1^2+w_4\ast x_2^2+w_5\ast x_1\ast x_2$$

若这样，则由原本的一维线性方程转换成了二维函数（最直观的表现），则原本的数据集则可以拟合成下图所示的模型：

上图生成代码如下：

# 导包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = np.linspace(-1,11,100)
y = (X - 5)**2 + 3*X + 12 + np.random.randn(100)
X = X.reshape(-1,1)

# 升维，可以解决多项式的问题，直观表现为可以让直线进行拐弯
np.set_printoptions(suppress=True)
X2 = np.concatenate([X,X**2], axis= 1)
# 注：只需要对特征进行升维，不需要对目标值进行升维

# 生成测试数据
X_test = np.linspace(-2,12,300).reshape(-1,1) 
model2 = LinearRegression()
model2.fit(X2,y)
X_test2 = np.concatenate([X_test,X_test**2],axis=1)
y_test2 = model2.predict(X_test2)
print('所求的w是\n',model2.coef_)
print('所求的截距b是\n',model2.intercept_)

# 绘制图像的时候要用没升维的数据进行绘制
plt.scatter(X,y,color='green')
plt.plot(X_test,y_test2,color = 'red')

使用sklearn库实现特征升维

在sklearn中具有很多封装好的工具，可以直接调用。

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # （多项式）升维的python库

使用方法:

# 特征和特征之间相乘
poly = PolynomialFeatures(interaction_only=True)
A = [[3,2]]
poly.fit_transform(A)
# 生成结果：array([[1., 3., 2., 6.]])

#特征之间乘法，自己和自己自乘（在上述情况下加上自己的乘法）
poly = PolynomialFeatures(interaction_only=False)
A = [[3,2,5]]
poly.fit_transform(A)
# 生成结果：array([[ 1.,  3.,  2.,  5.,  9.,  6., 15.,  4., 10., 25.]])

# 可以通过degree来提高升维的大小
poly = PolynomialFeatures(degree=4,interaction_only=False)# 特征和特征之间相乘
A = [[3,2,5]]
poly.fit_transform(A)
# 生成结果:
# array([[  1.,   3.,   2.,   5.,   9.,   6.,  15.,   4.,  10.,  25.,  27.,
#         18.,  45.,  12.,  30.,  75.,   8.,  20.,  50., 125.,  81.,  54.,
#        135.,  36.,  90., 225.,  24.,  60., 150., 375.,  16.,  40., 100.,
#        250., 625.]])

实现天猫年度销量预测

实现代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor

# 创建数据
X = np.arange(2009,2020).reshape(-1,1) - 2008
y = np.array([0.5,9.36,52,191,350,571,912,1207,1682,2135,2684])
plt.scatter(X,y)
# 创建测试数据
X_test = np.linspace(2009,2020,100).reshape(-1,1) - 2008

# 数据升维
ploy = PolynomialFeatures(degree=2, interaction_only=False)
X2 = ploy.fit_transform(X)
X_test2 = ploy.fit_transform(X_test)

# 模型创建LinearRegression
model = LinearRegression(fit_intercept=False)
model.fit(X2,y)
y_pred = model.predict(X_test2)
print('参数w为：',model.coef_)
print('参数b为：',model.intercept_)

plt.scatter(X,y,color='green')
plt.plot(X_test,y_pred,color='red')

# 使用SGD进行梯度下降,必须要归一化,否则效果会非常不好
# 创建测试数据
X_test = np.linspace(2009,2019,100).reshape(-1,1) - 2008

# 数据升维
ploy = PolynomialFeatures(degree=2, interaction_only=False)
X2 = ploy.fit_transform(X)
X_test2 = ploy.fit_transform(X_test)

#对数据进行归一化操作
standard = StandardScaler()
X2_norm = standard.fit_transform(X2)
X_test2_norm = standard.fit_transform(X_test2)

# 模型创建SGDRegression
model = SGDRegressor(eta0=0.3, max_iter=5000)
model.fit(X2_norm,y)
y_pred = model.predict(X_test2_norm)
print('参数w为：',model.coef_)
print('参数b为：',model.intercept_)

plt.scatter(X,y,color='green')
plt.plot(X_test,y_pred,color='red')

这里需要说明一下情况，如果第二段代码不进行归一化，则呈现的是下图：

如果进行了归一化，则产生的和法一LinearRegession是一样的图形（基本相同）：

这是什么原因？

• 线性回归（Linear Regression）和随机梯度下降（SGD）在处理特征尺度不同的问题上有一些不同之处，导致线性回归相对于特征尺度的敏感性较低。
• SGD的更新规则涉及学习率（η）和梯度。如果不同特征的尺度相差很大，梯度的大小也会受到这种尺度差异的影响。因此在引入高次项或其他非线性特征，需要注意特征的尺度，避免数值上的不稳定性。
• SGD中的正则化项通常依赖于权重的大小。通过归一化，可以使得正则化项对所有特征的影响更加平衡。

实现中国人寿保险预测

import pandas as pd
import seaborn as sns
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression,ElasticNet
from sklearn.metrics import mean_squared_error,mean_squared_log_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

# 读取数据
data_renshou = pd.read_excel('your_path/中国人寿.xlsx')
# 可以通过下式生成图像，查看那些数据是好数据那些是不好的数据——好特征：差别大，容易区分
#sns.kdeplot(data=data_renshou, x="charges",hue="sex",shade=True)
#sns.kdeplot(data=data_renshou, x="charges",hue="smoker",shade=True)
#sns.kdeplot(data=data_renshou, x="charges",hue="region",shade=True)
#sns.kdeplot(data=data_renshou, x="charges",hue="children",shade=True)

# 特征工程，对数据进行处理
data_renshou = data_renshou.drop(['region','sex'],axis = 1)	# 删除不好的特征

# 体重指数，离散化转换，体重两种情况：标准，fat
def conver(df,bmi):
    df['bmi'] = 'fat' if df['bmi'] >= bmi else 'standard'
    return df
data_renshou = data_renshou.apply(conver, axis=1,args=(30,))

# 特征提取，离散转数值型数据
data_renshou = pd.get_dummies(data_renshou)
data_renshou.head()

#特征和目标值提取
# 训练数据
x = data_renshou.drop('charges', axis=1)
# 目标值
y = data_renshou['charges']

# 划分数据
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,test_size=0.2)

# 特征升维(导致了他下面的参数biandu)
poly = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)
X_test_poly = poly.fit_transform(X_test)
# 模型训练与评估
np.set_printoptions(suppress=True)
model = LinearRegression()
model.fit(X_train_poly,y_train)
print('测试数据得分：',model.score(X_train_poly,y_train))
print('预测数据得分：',model.score(X_test_poly,y_test))
print('测试数据均方误差：',np.sqrt(mean_squared_error(y_test,model.predict(X_test_poly))))
print('训练数据均方误差：',np.sqrt(mean_squared_error(y_train,model.predict(X_train_poly))))
print('测试数据对数误差：',np.sqrt(mean_squared_log_error(y_test,model.predict(X_test_poly))))
print('训练数据对数误差：',np.sqrt(mean_squared_log_error(y_train,model.predict(X_train_poly))))
print('获得的参数为：',model.coef_.round(2),model.intercept_.round(2))