每日一练：“打家劫舍”（House Robber）问题 III

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每日一练：“打家劫舍“（House Robber）问题 I
每日一练：“打家劫舍“（House Robber）问题 II

1. 问题

房屋形成一棵二叉树，相邻的房屋不能同时抢劫，并且现在有一个警报系统，如果抢劫了父节点，就不能抢劫其子节点。
求解的问题是，小偷在不触发警报的情况下，一晚上最多能偷到多少财宝。

2. 解题思路（状态转移方程）

2.1 状态转移方程

状态转移方程是系统动力学中描述系统状态随时间演变的数学方程。这种方程通常用来表示系统的状态如何从一个时间点转移到下一个时间点。在控制理论、物理系统建模、经济学等领域，状态转移方程是非常常见且重要的概念。
一般而言，状态转移方程可以用如下的形式表示：
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·x(t)是系统在时间t的状态向量。
·u(t)是在时间t的输入向量。
·A是状态转移矩阵，描述系统状态如何随时间演变。
·B是输入矩阵，描述输入如何影响状态的演变。
这个方程表示系统在下一个时间点的状态x(t+1)是当前状态x(t)通过矩阵A的变换加上输入u(t)通过矩阵B的变换得到的。
在一些应用中，状态转移方程也可能包含时间的影响、随机扰动等因素，具体形式可能会更加复杂。

2.2 解题思路

为了应用状态转移方程解决这个问题，可以将问题抽象成一个动态规划问题，其中状态表示小偷在每个房屋处的状态。假设有n个房屋，用f()表示小偷在第个房屋时能够获得的最大财物价值。状态转移方程可以表示为:
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f(i)是在第个房屋时能够获得的最大财物价值价值[i是第我个房屋中的财物价值。
f(i-1)表示小偷选择不盗窃当前房屋，所以能够获得的最大财物价值与前一个房屋的最大财物价值相同。
F(i-2)+value[i]表示小偷选择盗窃当前房屋，所以能够获得的最大财物价值为前两个房屋的最大财物价值加上当前房屋的财物价值。

这个状态转移方程反映了一个典型的动态规划问题，通过递推求解，可以找到小偷在整个房屋序列中能够获得的最大财物价值。这个问题的动态规划解法避免了重复计算，提高了效率

3. 代码设计思路

问题中的房屋形成一棵二叉树，相邻的房屋不能同时抢劫。
定义一个递归函数helper(node)，表示在以node为根节点的子树中能够抢到的最大金额。
对于每个节点，分为两种情况：
抢劫当前节点，那么就不能抢劫其左右子节点，最大金额为当前节点的值加上左右子树不抢劫的最大金额。
不抢劫当前节点，可以选择抢劫其左右子节点，最大金额为左右子树的最大金额之和。
递归地计算每个节点的最大金额，最终返回以根节点为起点的最大金额。

4. 代码实现

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def rob(root):
    def helper(node):
        # 如果当前节点为空，返回一个包含两个0的列表，表示不抢劫该节点时的最大金额
        if not node:
            return [0, 0]

        # 递归计算左右子树的最大金额，返回一个包含两个值的列表
        left = helper(node.left)
        right = helper(node.right)

        # 包括当前节点的最大值，考虑抢劫当前节点，所以需要加上左右子树不抢劫的最大值
        include_curr = node.val + left[1] + right[1]

        # 不包括当前节点的最大值，可以选择抢劫左右子树的最大值
        exclude_curr = max(left) + max(right)

        # 返回一个包含两个值的列表，分别表示包括和不包括当前节点的最大值
        return [include_curr, exclude_curr]

    # 调用helper函数，计算以根节点为起点的最大金额，并返回两种情况的最大值
    result = helper(root)
    return max(result)

# 示例
root = TreeNode(3)
root.left = TreeNode(4)
root.right = TreeNode(5)
root.left.left = TreeNode(1)
root.left.right = TreeNode(3)
root.right.right = TreeNode(1)

result = rob(root)
print(result)

TreeNode类表示二叉树的节点，包含值、左子节点和右子节点。
rob函数是主函数，接受一个二叉树的根节点，并计算在不触发警报的情况下能够抢到的最大金额。
helper函数是递归函数，用于计算以当前节点为根节点的子树中能够抢到的最大金额。
对于每个节点，递归计算左右子树的最大金额，得到一个包含两个值的列表。
在包括和不包括当前节点的两种情况下，分别计算最大值。
最终返回一个包含两个值的列表，分别表示包括和不包括当前节点的最大值。
主函数中调用helper函数，计算以根节点为起点的最大金额，并返回两种情况的最大值。
示例中的二叉树是硬编码的，根据二叉树的结构计算能够抢到的最大金额。在这个示例中，输出结果为7，表示在这个二叉树中能够抢到的最大金额为7。

4. 动态规划算法

通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

5. 动态规划术语

阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用k表示。此外，也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。

状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点。

无后效性：我们要求状态具有下面的性质：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响，所有各阶段都确定时，整个过程也就确定了。换句话说，过程的每一次实现可以用一个状态序列表示，在前面的例子中每阶段的状态是该线路的始点，确定了这些点的序列，整个线路也就完全确定。从某一阶段以后的线路开始，当这段的始点给定时，不受以前线路（所通过的点）的影响。状态的这个性质意味着过程的历史只能通过当前的状态去影响它的未来的发展，这个性质称为无后效性。

决策：一个阶段的状态给定以后，从该状态演变到下一阶段某个状态的一种选择（行动）称为决策。在最优控制中，也称为控制。在许多问题中，决策可以自然而然地表示为一个数或一组数。不同的决策对应着不同的数值。描述决策的变量称决策变量，因状态满足无后效性，故在每个阶段选择决策时只需考虑当前的状态而无须考虑过程的历史 [6] 。
决策变量的范围称为允许决策集合。

策略：由每个阶段的决策组成的序列称为策略。对于每一个实际的多阶段决策过程，可供选取的策略有一定的范围限制，这个范围称为允许策略集合。
允许策略集合中达到最优效果的策略称为最优策略。
给定k阶段状态变量x(k)的值后，如果这一阶段的决策变量一经确定，第k+1阶段的状态变量x(k+1)也就完全确定，即x(k+1)的值随x(k)和第k阶段的决策u(k)的值变化而变化，那么可以把这一关系看成(x(k)，u(k))与x(k+1)确定的对应关系，用x(k+1)=Tk(x(k),u(k))表示。这是从k阶段到k+1阶段的状态转移规律，称为状态转移方程。