1. 引言

  快速排序是一种经典的排序算法，其核心思想是通过选择一个基准元素，将数组分为两个部分，左边的元素小于基准，右边的元素大于基准，然后对左右两部分递归地进行排序。然而，在处理基本有序数组时，传统的快速排序可能会退化为$O(n^2)$的时间复杂度。为了解决这个问题，引入了三者取中法，通过选择数组中的三个元素并取其中值作为基准元素，能够在基本有序的情况下提高排序效率。

2. 快速排序算法

2.1 传统快速排序

  快速排序的核心思想是通过选择一个基准元素，将待排序的数组划分为两个部分，左边的元素小于基准，右边的元素大于基准，然后对左右两部分递归地进行排序，其时间复杂度：

1. 最好情况： 每次分划都能将数组平均地划分成两部分，此时的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。
2. 最坏情况： 每次分划都选择了数组中最小（或最大）的元素作为基准，导致每次分划只能减少一个元素，时间复杂度$O(n^2)$。
3. 平均情况： 通过概率分析，可以证明时间复杂度为$O(nlo{g}_{2}n)$。

2.2 三者取中法

2. 算法描述：
  改进的快速排序算法主要区别在于基准元素的选择。在传统快速排序中，通常选择随机元素作为基准，而在改进算法中则采用三者取中法：

3. 实验内容

3.1 实验题目

  实现教材233 页下方提及的 Select 算法（求第 4 小元素）（要求文件长度大于等于 5 时调用 Partition2 算法，否则调用直接插入排序算法）。

（一）输入要求

第一组输入数据：
{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}
第二组输入数据：
{16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1}

（二）输出要求

对每组输入数据，输出以下信息（要求必须要有关于输出数据的明确的提示信息）：

1. 输出分划次数；
2. 输出找到第 4 小元素时文件的状态，即输出此时所有记录的值。

3.2 算法实现

#include<stdio.h>
void Change(int R[],int i,int j)
{
    int t=R[i];
    R[i]=R[j];
    R[j]=t;
}
int Partition2(int R[],int m,int n)
{
    Change(R,(m+n)/2,m+1);
    if(R[m+1]>R[n]) Change(R,m+1,n);
    if(R[m]>R[n]) Change(R,m,n);
    if(R[m+1]>R[m]) Change(R,m + 1,m);
    int i=m,j=n+1,K=R[m];
    while(i<j)
    {
        i++;
        while(R[i]<=K) i++;
        j--;
        while(R[j]>K) j--;
        if(i<j)
            Change(R,i,j);
    }
    Change(R,m,j);
    return j;
}
void InsertSort(int R[],int len)
{
    int i,j,t;
    for(i=1;i<len;i++)
        if(R[i]<R[i-1])
        {
            t=R[i];
            R[i]=R[i-1];
            for(j=i-1;R[j]>t&&j>=0;j--){
                R[j+1]=R[j];
            }
            R[j+1]=t;
        }
}
int Select(int R[], int n)
{
    if(n>=5){
        int t=Partition2(R,1,n),rounds=0;
        rounds++;
        while(t!=4){
            if(t<4) t=Partition2(R,t+1,n);
            else t=Partition2(R,1,t-1);
            rounds++;
        }
        printf("分划次数为%d次\n",rounds);
        printf("找到第4小元素时文件状态为:");
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)
            printf("%d ",R[i]);
        printf("\n");
        return R[4];
    }
    else{
        InsertSort(R,n);
        return R[4];
    }
}
int main()
{
    //int R[16]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16};
    int R[16]={16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1};
    printf("第4小元素为%d",Select(R,16));
    return 0;
}

1. Change 函数用于交换数组中的两个元素。
2. Partition2 函数使用中值法选择主元，并使用修改过的Lomuto分区方案对数组进行分区。它返回选择的主元的最终位置。
3. InsertSort 函数对数组执行插入排序。
4. Select 函数是主要的算法。如果数组的大小大于或等于5，它使用Partition2 函数递归地找到第4小元素。如果大小小于5，它使用 InsertSort 函数对数组进行排序，并返回第4个元素。

4. 实验结果