支持向量机（Support Vector Machines）是广泛应用于工业界和学术界的一种监督学习算法，在学习复杂的非线性方程时提供了一种更为清晰，更加强大的方式。下面从SVM的优化目标开始，通过对逻辑回归一点一点的修改来得到本质上的支持向量机。逻辑回归部分参考文章 机器学习——逻辑回归算法

1. 优化目标

在逻辑回归中我们已经熟悉了这里的假设函数形式，和右边的S型激励函数，用$z$ 表示${\theta }^{T}x$。

在逻辑回归中，如果有一个 $y=1$的样本，我们希望$h_{\theta }\left(x\right)$ 趋近1，因为我们想要正确地将此样本分类，这就意味着${\theta }^{T}x$ 应当远大于0，这里的$>>$意思是远远大于0。这是因为由于 $z$ 表示 ${\theta }^{T}x$，当 $z$远大于0时，即到了该图的右边，此时逻辑回归的输出将趋近于1。相反地，如果我们有另一个样本，即$y=0$。我们希望假设函数的输出值将趋近于0，这对应于${\theta }^{T}x$，或者就是 $z$ 会远小于0。

我们已经知道逻辑回归的代价函数表达式为：

$Cost\left(h_{\theta }\left(x\right),y\right)=-y\times log\left(h_{\theta }\left(x\right)\right)-(1-y)\times log\left(1-h_{\theta }\left(x\right)\right)$

$=-y\times log\left(\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}\right)-(1-y)\times log\left(1-\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}\right)$

这里的$cost$函数是一个训练样本所对应的表达式。现在我们考虑两种情况：一种是$y$等于1的情况；另一种是 $y$ 等于0的情况。

在第一种情况中，假设 $y=1$ ，此时在目标函数中只需有第一项起作用，因为$y=1$时，$(1-y)$项将等于0。因此，当在 $y=1$ 的样本中时，即在 $(x,y)$中 ，我们得到 $cost=-\log (\frac{1}{1+e^{-z}})$这样一项。

用 $z$ 表示${\theta }^{T}x$，即： $z={\theta }^{T}x$。如果画出关于$z$ 的函数，会看到左下角的这条曲线，我们可以看到，当$z$ 增大时，也就是相当于${\theta }^{T}x$增大时，$z$ 对应的值会变的非常小。这也就解释了，为什么逻辑回归在观察到正样本$y=1$时，试图将${\theta }^{T}x$设置得非常大。因为，在代价函数中的这一项会变的非常小。

第二种情况，如果$y=0$，此时在目标函数中只需有第二项起作用。因此，当在 $y=0$ 的样本中时，我们得到 $cost=-\log (1-\frac{1}{1+e^{-z}})$，得到右上的图像。

现在开始建立支持向量机，我们会从得到的代价函数开始，对$cost=-\log (\frac{1}{1+e^{-z}})$做一点修改，取$z=1$ 点，画出将要用的新的代价函数，左下图。新的代价函数将是同逻辑回归非常相似的直线，也就是用紫红色画的线，由两条线段组成，即位于右边的水平部分和位于左边的直线部分。在SVM中我们将使用这个新的代价函数，我们把这个函数命名为$\cos t_1(z)$，对应着$y=1$的情况。

另外一种情况是当$y=0$时，我们用同样的方法产生新的代价函数，如右上图，我们命名为$\cos t_0(z)$

拥有了上面两个新的代价函数定义之后，下面开始构造支持向量机。
对于逻辑回归的代价函数：
$$J\left(\theta \right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log \left(-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right)((-\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right))]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$
对于支持向量机而言，实质上我们要将中括号内的前一项$log\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)$替换为$\cos t_1(z)$，也就是$\cos t_1({\theta }^{T}x)$，同样地，将后一项$-log\left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)$替换为$\cos t_0(z)$，也就是$\cos t_0({\theta }^{T}x)$。这里的代价函数$\cos t_1$，$\cos t_0$，就是之前所提到的那两条线。因此，对于支持向量机，我们得到了这里的最小化问题，即:

现在，按照支持向量机的惯例，事实上，我们的书写会稍微有些不同，代价函数的参数表示也会稍微有些不同。

首先，我们要除去$1/m$这一项，因为$1/m$ 仅是个常量，因此在这个最小化问题中，无论前面是否有$1/m$ 这一项，最终我所得到的最优值$\theta$都是一样的。

第二点概念上的变化，是在正则化方面的变化。对于逻辑回归，在目标函数中，我们有两项：第一个是训练样本的代价，第二个是我们的正则化项，通过正则参数$\lambda$来权衡这两项。但对于支持向量机，按照惯例，我们将使用一个不同的参数替换这里的$\lambda$，这个参数称为$C$。可以把这里的参数$C$ 考虑成$1/\lambda$。

因此，这就得到了在支持向量机中的整个优化目标函数。然后最小化这个目标函数，得到SVM 学习到的参数$\theta$。
$$minC\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\cos t_1({\theta }^T{x}^{(i)})+\left(1-y^{(i)}\right)\cos t_0({\theta }^T{x}^{(i)})]+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$
有别于逻辑回归输出的概率。在这里，当最小化代价函数，获得参数$\theta$时，支持向量机所做的是它来直接预测$y$的值等于1，还是等于0。

2. 大间距的直观理解

人们有时将支持向量机看作是大间距分类器。在这一部分，将介绍其中的含义，这有助于我们直观理解SVM模型的假设是什么样的。

最小化代价函数的必要条件是，如果你有一个正样本，$y=1$，则只有在$z>=1$时，代价函数$\cos t_1(z)$才等于0。换句话说，如果你有一个正样本，我们会希望${\theta }^{T}x>=1$，反之，如果$y=0$，函数$\cos t_0(z)$，它只有在$z<=-1$的区间里函数值为0。

事实上，如果你有一个正样本$y=1$，则其实我们仅仅要求${\theta }^{T}x$大于等于0，就能将该样本恰当分出，这是因为如果${\theta }^{T}x$>0大的话，我们的模型代价函数值为0，但是，支持向量机的要求更高，不仅仅要能正确分开输入的样本，即不仅仅要求${\theta }^{T}x$>0，我们需要的是比0值大很多，比如大于等于1，$y=1$的情况类似。这就相当于在支持向量机中嵌入了一个额外的安全因子，或者说安全的间距因子。

具体而言，接下来会考虑一个特例。我们将这个常数$C$设置成一个非常大的值。比如100000或者其它非常大的数，然后来观察支持向量机会给出什么结果？

如果 $C$非常大，则最小化代价函数的时候，我们将会很希望找到一个使第一项为0的最优解。因此，让我们尝试在代价项的第一项为0的情形下理解该优化问题。这将给我们一些关于支持向量机模型的直观感受。

当输入一个训练样本标签为$y=1$，需要找到一个$\theta$，使得${\theta }^{T}x>=1$，类似地，标签为$y=0$，需要${\theta }^{T}x<=-1$。这里第一项是$C$乘以0，因此可以将其删去，得到代价函数表达式$min\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$。这样当求解这个优化问题，最小化这个关于变量$\theta$的函数的时候，会得到一个非常有趣的决策边界。

给出下图一个数据集，其中有正样本，也有负样本，可以看到这个数据集是线性可分的。有多条不同的直线，可以把正样本和负样本完全分开。

支持向量机将会选择这个黑色的决策边界，相较于粉色或者绿色画的决策界，这条黑线看起来是更稳健的决策界。在分离正样本和负样本上它显得的更好。这条黑线有更大的距离，这个距离叫做间距(margin)。
黑色的决策界和训练样本之间有更大的最短距离。粉线和蓝线离训练样本就非常近，在分离样本的时候就会比黑线表现差。因此，这个距离叫做支持向量机的间距，而这是支持向量机具有鲁棒性的原因，因为它努力用一个最大间距来分离样本。因此支持向量机有时被称为大间距分类器。

3. 大间距分类背后的数学

这部分在吴恩达视频课程中作为选修，但是我听了之后感觉会对SVM的大间距分类器产生更好的理解。

首先，复习一下关于向量内积的知识。假设有两个向量，$u$和$v$，$u=[u_1,u_2]$，$v=[v_1,v_2]$。$u^{T}v$也叫做向量$u$和$v$之间的内积。由于是二维向量，可以将它们画在这个图上。

向量$u$，在横轴上，取值为某个$u_1$，而在纵轴上，高度是某个$u_2$作为$u$的第二个分量。很容易向量$u$的范数，$\Vert u\Vert$表示$u$的范数，即$u$的长度，即向量$u$的欧几里得长度。根据毕达哥拉斯定理，$\Vert u\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2}$，这是向量$u$的长度，是一个实数。

我们来看看如何计算$u$和$v$之间的内积。我们将向量$v$投影到向量$u$上，做一个直角投影，设这条红线的长度为$p$，因此$p$是$v$投影到向量$u$上的长度，因此可以得到$u^{T}v=p\cdot \Vert u\Vert$。

需要注意的就是$p$值，$p$事实上是有符号的，即它可能是正值，也可能是负值。在内积计算中，如果$u$和$v$之间的夹角小于90度，那么那条红线的长度$p$是正值。然而如果这个夹角大于90度，则$p$将会是负的。
内积的另一个计算公式是：$u^{T}v=u_1\times v_1+u_2\times v_2$。

上面的公式是先前给出的支持向量机模型中的目标函数。为了讲解方便，做一点简化，仅仅是为了让目标函数更容易被分析。
首先，忽略掉截距，令${\theta }_0=0$，这样更容易画示意图。
然后，将特征数$n$置为2，因此我们仅有两个特征$x_1,x_2$，目标函数可以写作：$\frac{1}{2}\left({\theta }_1^2+{\theta }_2^2\right)=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{{\theta }_1^2+{\theta }_2^2}\right)}^2$，只有两个参数${\theta }_1,{\theta }_2$。因为忽略了${\theta }_0$，注意到括号里面的这一项是向量$\theta$的范数，或者说是向量$\theta$的长度，得到我们的目标函数是等于$\frac{1}{2}{\Vert \theta \Vert }^2$。因此支持向量机做的全部事情，就是极小化参数向量$\theta$范数的平方，或者说长度的平方。

我们考察一个单一的训练样本，在下图中用一个叉来表示这个样本$x^{(i)}$，意思是在水平轴上取值为$x_1^{(i)}$，在竖直轴上取值为$x_2^{(i)}$。现在，把一个参数向量也画成向量，那么内积${\theta }^T{x}^{(i)}$ 将会是什么呢？

使用我们之前的方法，我们计算的方式就是将训练样本投影到参数向量$\theta$，将它称为$p^{(i)}$用来表示这是第 $i$个训练样本在参数向量$\theta$上的投影。根据之前的内容，我们知道的是${\theta }^T{x}^{(i)}$将会等于$p$ 乘以向量 $\theta$ 的长度或范数，即${\theta }^T{x}^{(i)}=p^{(i)}\cdot \Vert \theta \Vert$ 。这就等于${\theta }_1\cdot x_1^{(i)}+{\theta }_2\cdot x_2^{(i)}$。这两种方式是等价的，都可以用来计算$\theta$和$x^{(i)}$之间的内积。

这里表达的意思是：这个${\theta }^T{x}^{(i)}>=1$ 或者${\theta }^T{x}^{(i)}<-1$的约束，是可以被$p^{(i)}\cdot \Vert \theta \Vert >=1$这个约束所代替的。

现在让我们考虑下面这里的训练样本，我们使用上面得到的优化目标函数等于$\frac{1}{2}{\Vert \theta \Vert }^2$。

现在，继续使用之前的简化，即${\theta }_0=0$，我们来看一下支持向量机会选择什么样的决策界。如左下图中的绿色边界是一种选择，这不是一个非常好的选择，因为它的间距很小。这个决策界离训练样本的距离很近。支持向量机不会选择它作为边界。
对于绿色边界这种选择，其对应的的参数$\theta$事实上是和决策界是90度正交的，因为作为边界，其分类的结果为正样本和负样本，所以就有边界上的${\theta }^T{x}^{(i)}=0$，因此两个向量是正交的。又因为${\theta }_0=0$的简化意味着决策界必须通过原点$(0,0)$。现在让我们看一下这对于优化目标函数意味着什么。

如上右图蓝色标记的样本点，假设第一个样本是$x^{(1)}$，如果考察这个样本到参数$\theta$的投影，投影是短的红线段，等于$p^{(1)}$，它非常短。类似地，第二个样本点是$x^{(2)}$，把它到$\theta$的投影画成粉色，等于$p^{(2)}$这个投影也非常短。$p^{(2)}$事实上是一个负值，因为这个向量和参数向量$\theta$的夹角大于90度。

我们会发现这些$p^{(i)}$将会是非常小的数，因此当我们考察优化目标函数的时候，对于正样本而言，我们需要$p^{(i)}\cdot \Vert \theta \Vert >=1$，但是如果 $p^{(i)}$在这里非常小，那就意味着我们需要$\theta$的范数非常大。类似地，对于负样本而言我们需要$p^{(2)}\cdot \Vert \theta \Vert <=-1$，我们已经在上面的样本中得到$p^{(2)}$会是一个非常小的数，因此唯一的办法就是$\theta$的范数变大。但是我们的目标函数是希望找到一个参数$\theta$，它的范数是小的。因此，这看起来不像是一个好的参数向量$\theta$的选择。

相反的，来看一个不同的决策边界。如上图所示的绿色边界，这个绿色的决策界有一个垂直于它的向量$\theta$。现在如果考察样本$x^{(1)}$，将它投影到$\theta$上，就会得到这样$p^{(1)}$。另一个样本$x^{(2)}$做同样的投影。注意到现在$p^{(1)}$ 和$p^{(2)}$这些投影长度是长多了。这时，当我们满足约束$P^{(i)}\cdot \Vert \theta \Vert >1$时，则因为$p^{(i)}$变大了，$\theta$的范数就可以变小了。因此这意味着通过选择这种决策界，支持向量机可以使参数$\theta$的范数变小很多。因此，如果我们想令$\theta$的范数变小，从而令$\theta$范数的平方变小，就能让支持向量机选择上面这种决策界。这就是支持向量机如何能有效地产生大间距分类的原因。

通过让间距变大，即通过增大这些$p^{(1)},p^{(2)},p^{(3)}$等等的值，支持向量机最终可以找到一个较小的$\theta$范数。这正是支持向量机中最小化目标函数的目的。

最后一点，我们的推导自始至终使用了这个简化假设，就是参数${\theta }_0=0$，作用是让决策界通过原点。但是可以说明的是，即便${\theta }_0$不等于0，支持向量机仍然会找到正样本和负样本之间的大间距分隔，在这里就不再做解释了。

以上就解释了为什么支持向量机是一个大间距分类器。