摘要：集合划分问题（Set Partitioning Problem）是一种组合优化问题，其中给定一个集合S和其若干个不同的子集S1，S2，...，Sn后，需要找到子集的有效组合，使得集合S的每个元素正好出现在一个子集中，并且所选择的子集的组合成本最小。这个问题可以被建模为一个0-1整数线性规划问题，其中引入了一个0-1变量向量，用于表示是否选择子集。通过对变量和约束条件的定义，可以找到最优的子集划分方案，以最小化成本。集合划分问题在学术研究中被广泛应用于制定调度计划、运输计划、生产计划等领域，以解决实际问题并优化资源利用。

集合划分问题是一个NP-hard问题。使用传统的计算机算法来解决这个问题时，所需的时间将随着问题规模变大呈指数级增长。因此，对于大规模的问题，需要使用更高效的算法、近似算法或其他有效的工具来解决。

在场景应用上，如许多组织中的人员调度和排班、计划时刻表，除了启发式算法外，近年来集合划分优化方法变得更加流行。由于在实际情况中生成的优化模型非常大，因此开发了多种计算技术来有效地制定解决方案。例如生成具有超过650个约束和200,000个二进制变量的集合划分模型，这些技术经常用于解决航空公司应用程序中产生的多种问题。

同时，它在分析多智能体系统中的合作方面也发挥着重要作用。例如为了优化社会福利，找到一个将主体划分为联盟（联盟结构）的方法，使分区中联盟的价值总和最大化。通过组建联盟，自主传感器可以改善对某些区域的监管；绿色能源发电机可以减少其预期能源输出的不确定性；认知无线电网络可以增加其吞吐量；买家可以通过批量采购获得更便宜的价格......

北京玻色量子科技有限公司在5月16日新品发布会上推出的100计算量子比特相干光量子计算机真机——“天工量子大脑”🔗，旨在快速、高效地求解NP-hard的Ising模型。集合划分问题可以转化为一个Ising/QUBO模型，“天工量子大脑”可以极大简化求解步骤并在毫秒级的时间里给出问题的全局最优解。

问题描述

集合划分问题是组合优化中的一类经典问题，该问题是指已知一个集合和其若干子集，如何选择子集，使原集合的每个元素出现且仅出现在一个子集中（这些子集恰好构成原集合的一个划分），并且所选择的子集的成本之和最小。

首先给出集合划分的整数规划模型

其中xj为0/1变量，表示是否选择子集j，cj是选择子集j的成本，aij系数表示元素i是否出现在子集j中。

建模思路

我们可以将该模型直接转化为如下QUBO形式。

我们用下面的例子来进一步分析。 

该案例可以转为如下数学模型：

s.t.

对于这样的问题，我们一般需要引入惩罚系数𝑃构建二次惩罚项并将其添加到原始目标函数中，以建立QUBO模型，则模型可以调整为式（5）。

我们取P=10，同时根据x2=x（x为0/1变量）的特性，我们可以化简式子得到式（6）

舍去常数项后，我们得到QUBO模型的矩阵表达：

其中Q矩阵为：

求解这个QUBO模型，我们可以得到最优解x1=x5=1，x2=x3=x4=x6=0，得到y=6。即选择子集1（{1,4}）和子集5（{2,3}），集合划分最小成本为6。

问题拓展

集合划分问题是组合优化中的一个经典问题，和该问题类似的还包括集合覆盖问题（Set Covering Problem）和集合包装问题（Set Packing Problem）。需要区别的是，集合覆盖问题和集合包装问题的在式（1）中的约束为不等式约束，集合覆盖问题为“≥”，集合包装问题为“≤”。集合划分问题在数学、计算机科学、物理学等领域都有应用，其应用包括图像处理、数据挖掘、网络优化等。

未来，玻色量子将依托100量子比特相干光量子计算机真机——“天工量子大脑”，聚焦“实用化量子计算”，不断深入研究更多NP-Complete问题，拓展更多可实用化量子计算的真实应用场景。

玻色量子还将启动“燎原计划”开发者平台，并持续对外开放“天工量子大脑”的真机测试，热忱欢迎更多不同领域的研究伙伴前来了解相干量子计算的原理和能力，在此基础上展开共同研发，用量子计算去解决更多真实场景中的问题，让量子计算的超强算力能真正服务于各行各业，满足未来时代对于计算的需求。

[参考文献]

[1] Glover, Fred, Kochenberger, Gary, Du, Yu. Quantum Bridge Analytics I: a tutorial on formulating and using QUBO models[J]. 4OR: Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies,2019,17(4):335-371. DOI:10.1007/s10288-019-00424-y.

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