假设存在一个数据集，包含工资、年龄及贷款额度三个维度的数据。我们需要根据这个数据集进行建模，从而在给定工资和年龄的情况下，实现对贷款额度的预测。其中，工资和年龄是模型构建时的两个特征，额度是模型输出的目标值。

工资	年龄	额度
4000	25	20000
8000	30	70000
5000	28	35000
7500	33	50000
12000	40	85000
…	…	…

我们可以根据数据集和相关需求进行公式建模：
$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\epsilon ={\theta }^{T}x+\epsilon$$
其中，${\theta }_0$ 为偏置项，${\theta }_1$、${\theta }_2$ 为两个特征 $x_1$、$x_2$ 的权重项，$\epsilon$ 为误差项；${\theta }^T$ 为一个行向量，$x$ 为包含特征 $x_1$、$x_2$ 的矩阵。

${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$ 在三维空间中表示的平面会尽可能去拟合所有数据点（目标值），但是这个平面并不一定是拟合度最高的，也许该平面沿着 $y$ 维度向上或向下平移一点距离所得到的新平面才是拟合度最高的，因此我们会在该拟合表达式中加上一个偏置项 ${\theta }_0$。

${\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$ 是给定 $x_1$、$x_2$ 值时，对目标值的预测，预测值与真实值之间必然会存在一个误差，因此我们在该表达式中还需加上一个误差项 $\epsilon$。

对于一个样本而言，公式可以写成如下形式：
$$y^{(i)}={\theta }^T{x}^{(i)}+{\epsilon }^{(i)}\Rightarrow {\epsilon }^{(i)}=y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}$$
其中，每个样本的误差 ${\epsilon }^{(i)}$ 都是独立同分布的，服从均值为 $0$ 的高斯分布。

高斯分布的概率密度函数如下所示：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$
把误差带入进去，可得到公式：
$$f({\epsilon }^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{({\epsilon }^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}}$$
该公式表示误差趋于 $0$ 的概率，或者说预测值 ${\theta }^T{x}^{(i)}$ 趋近于真实值的概率，这个概率自然是越大越好。

我们的最终目的是要求出最合适的 ${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$，而似然函数是统计学中用于估计参数的一个函数。因此在给出观测数据的前提下，我们可以利用似然函数来推断出未知的参数值。

构建的似然函数如下所示：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}}$$
其中，在各个样本都符合独立同分布的情况下，联合概率密度就等于各样本概率密度的乘积，因此这里用了累乘。

想在乘法中求解出参数 $\theta$，也许是一个比较难的事，但如果能把乘法转换成加法，对于参数的求解可能就容易了许多。鉴于此，我们可以使用对数似然函数来进行参数的求解。

构建的对数似然函数如下所示：
$$logL(\theta )=log\prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}}$$
将上述公式进行展开化简：
$$\begin{gathered} logL(\theta )=\sum _{i=1}^{m}log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{-\frac{{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}} \\ =mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }+\sum _{i=1}^{m}log{e}^{-\frac{{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2}{2{\sigma }^2}} \\ =mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{{\sigma }^2}\cdot \frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2 \end{gathered}$$
我们要让似然函数越大越好，因此上述公式等价于让下述目标函数的目标值越小越好：
$$J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)})}^2$$
我们首先对上述目标函数进行展开：
$$\begin{gathered} J(\theta )=\frac{1}{2}{(X\theta -y)}^T(X\theta -y) \\ =\frac{1}{2}({\theta }^T{X}^T-y^T)(X\theta -y) \\ =\frac{1}{2}({\theta }^T{X}^{T}X\theta -{\theta }^T{X}^{T}y-y^{T}X\theta +y^{T}y) \\ =\frac{1}{2}(2X^{T}X\theta -X^{T}y-(y^{T}X{)}^T) \\ =X^{T}X\theta -X^{T}y \end{gathered}$$
根据展开的公式推出参数值：
$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
通过这种方法可以进行参数值 $\theta$ 的求解，但是在上式中，$X^{T}X$ 不一定是可逆的，也就是说不一定能求解出参数值 $\theta$。

鉴于上述问题，我们需要考虑使用其他方法来求解合适的 $\theta$，而机器学习就是非常好的方法。一个常规的思路是，我们喂给机器一堆数据，然后告诉它该用什么样的方式学习，并让它朝着这个方向去做（目标/损失函数），每一次学习一点，经过多次迭代优化后，最终收敛至一个稳定的状态。

在对目标函数进行求解时，通常会用到梯度下降法来进行优化。梯度下降是一种常用的优化算法，用于求解目标函数的最小值或最大值。它的基本思想是通过迭代的方式，沿着目标函数的负梯度方向逐步更新参数，以逐渐接近最优解。具体来说，对于一个可微的目标函数，我们希望找到使其取得最小值的参数。梯度下降通过以下步骤进行迭代更新：

1. 初始化参数：选择初始参数值作为起点
2. 计算梯度：计算目标函数关于参数的梯度（导数）
3. 更新参数：将当前参数值沿着负梯度方向移动一小步，更新参数值
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或梯度变化很小）

梯度方向指示了函数上升最快的方向，而负梯度方向则指示了函数下降最快的方向。因此，通过不断更新参数，梯度下降算法可以朝着函数取得最小值的方向逐渐迭代，最终接近或达到最优解。

梯度下降算法有多种变体，如批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent），它们在每次更新参数时所使用的样本数量不同。这些变体具有不同的优缺点，适用于不同的问题和数据集规模。

回到上面的问题，此时的目标/损失函数如下所示：
$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y^i-{\theta }^T{x}^i{)}^2$$
当使用批量梯度下降时，目标函数关于第 $j$ 个参数的梯度可以写成如下形式：
$$\frac{\delta J(\theta )}{\delta {\theta }_j}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y^i-{\theta }^T{x}^i)x_j^i$$
更新参数后，新的参数可以表示成如下形式：
$${\theta }_j^{{}^{\prime }}={\theta }_j+\alpha \cdot \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y^i-{\theta }^T{x}^i)x_j^i$$
当使用随机梯度下降时，目标函数关于第 $j$ 个参数的梯度可以写成如下形式：
$$\frac{\delta J(\theta )}{\delta {\theta }_j}=-(y^i-{\theta }^T{x}^i)x_j^i$$
更新参数后，新的参数可以表示成如下形式：
$${\theta }_j^{{}^{\prime }}={\theta }_j+\alpha \cdot (y^i-{\theta }^T{x}^i)x_j^i$$
当使用小批量梯度下降时，目标函数关于第 $j$ 个参数的梯度可以写成如下形式：
$$\frac{\delta J(\theta )}{\delta {\theta }_j}=\frac{1}{10}\sum _{k=i}^{i+9}({\theta }^T{x}^k-y^k)x_j^k$$
更新参数后，新的参数可以表示成如下形式：
$${\theta }_j^{{}^{\prime }}={\theta }_j-\alpha \cdot \frac{1}{10}\sum _{k=i}^{i+9}({\theta }^T{x}^k-y^k)x_j^k$$
批量梯度下降容易得到最优解，但是由于每次都要考虑所有样本，因此速度很慢；随机梯度下降每次找一个样本，迭代速度快，但不一定每次都朝着收敛的方向前进（存在离群点、噪声点等干扰）；小批量梯度下降比较实用，用的也比较多。