七、通过libfdk_aac编解码器实现aac音频和pcm的编解码

news2024/9/22 1:00:52

前言


测试环境:

  • ffmpeg的4.3.2自行编译版本
  • windows环境
  • qt5.12

AAC编码是MP3格式的后继产品,通常在相同的比特率下可以获得比MP3更高的声音质量,是iPhone、iPod、iPad、iTunes的标准音频格式。

AAC相较于MP3的改进包含:

  • 更多的采样率选择:8kHz ~ 96kHz,MP3为16kHz ~ 48kHz
  • 更高的声道数上限:48个,MP3在MPEG-1模式下为最多双声道,MPEG-2模式下5.1声道
  • 改进的压缩功能:以较小的文件大小提供更高的质量
  • 改进的解码效率:需要较少的处理能力进行解码

AAC编码为了使用不同场景的需求,设计了很多规格

  • MPEG-2 AAC LC:低复杂度规格(Low Complexity)
  • MPEG-2 AAC Main:主规格
  • MPEG-2 AAC SSR:可变采样率规格(Scaleable Sample Rate)
  • MPEG-4 AAC LC:低复杂度规格(Low Complexity)
    • 现在的手机比较常见的MP4文件中的音频部分使用了该规格
  • MPEG-4 AAC Main:主规格
  • MPEG-4 AAC SSR:可变采样率规格(Scaleable Sample Rate)
  • MPEG-4 AAC LTP:长时期预测规格(Long Term Predicition)
  • MPEG-4 AAC LD:低延迟规格(Low Delay)
  • MPEG-4 AAC HE:高效率规格(High Efficiency)

众多规格中只需关注LC和HE


pcm与aac的转换需要AAC编解码器(如下列举几种常用的AAC编解码器)

  • Nero AAC
    • 支持LC/HE规格
    • 目前已经停止开发维护
  • FFmpeg AAC
    • 支持LC规格
    • FFmpeg官方内置的AAC编解码器,在libavcodec库中
      • 编解码器名字叫做aac
      • 在开发过程中通过这个名字找到编解码器
  • FAAC(Freeware Advanced Audio Coder)
    • 支持LC规格
    • 可以集成到FFmpeg的libavcodec中
      • 编解码器名字叫做libfaac
      • 在开发过程中通过这个名字找到编解码器,最后调用FAAC库的功能
    • 从2016年开始,FFmpeg已经移除了对FAAC的支持
  • Fraunhofer FDK AAC
    • 支持LC/HE规格
    • 目前质量最高的AAC编解码器
    • 可以集成到FFmpeg的libavcodec中
      • 编解码器名字叫做libfdk_aac
      • 在开发过程中通过这个名字找到编解码器,最后调用FDK AAC库的功能

编码质量排名:Fraunhofer FDK AAC > FFmpeg AAC > FAAC。

由于libfdk_aac最好,但是网上下载好的ffmpeg编译好的版本不带libfdk_aac编解码器。所以我们只能自行编译ffmpeg。

如下命令可以查看FFmpeg目前集成的AAC编解码器

ffmpeg -codecs | findstr aac

外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传


自己手动编译FFmpeg源码,将libfdk_aac集成到FFmpeg中,这种方式最好,但在windows环境下较为麻烦。

因为编译源码需要在类Unix系统上的(Linux、Mac等),默认无法直接用在Windows上。所以必须先用MSYS2软件在Windows上模拟出Linux环境,然后再在其中用MinGW软件对FFmpeg进行编译。

链接:windows下msys2编译64位的ffmpeg源码


编译好源码后,需要把.pro文件配置成新编译的源码。

fdk-aac对需要编解码的pcm音频有一定的格式要求

  • 采样格式必须为16位整数PCM
  • 采样率只支持:8000、11025、12000、16000、22050、24000、32000、44100、48000、64000、88200、96000

命令行将pcm和wav文件编码成aac音频

# pcm -> aac
ffmpeg -ar 44100 -ac 2 -f s16le -i in.pcm -c:a libfdk_aac out.aac
-ar 44100 -ac 2 -f s16le   --PCM输入数据的参数
-c:a	 设置音频编码器,c表示codec(编解码器),a表示audio(音频)。 等价写法 -codec:a或-acodec
    
# wav -> aac
ffmpeg -i in.wav -c:a libfdk_aac out.aac   

默认生成的aac文件是LC规格的。aac文件比之前的pcm文件小了很多很多。

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aac的缩写还可以是m4a和mp4。虽然现在都只认为mp4是视频文件


首先是pcm编码为aac

完整代码

AacEncodeThread.h

#ifndef AACENCODETHREAD_H
#define AACENCODETHREAD_H

#include <QFile>
#include <QObject>
#include <QThread>

extern "C" {
#include <libavformat/avformat.h>
}

typedef struct {
    const char *filename;
    int sampleRate;
    AVSampleFormat sampleFmt;
    int chLayout;
} AudioEncodeSpec;

class AacEncodeThread : public QThread
{
    Q_OBJECT
public:
    explicit AacEncodeThread(QObject *parent = nullptr);
    ~AacEncodeThread();

    static int check_sample_fmt(const AVCodec *codec,enum AVSampleFormat sample_fmt);
    static int encode(AVCodecContext *ctx,AVFrame *frame,AVPacket *pkt,QFile &outFile);
    static void aacEncode(AudioEncodeSpec &in,const char *outFilename);

signals:


    // QThread interface
protected:
    virtual void run() override;
};

#endif // AACENCODETHREAD_H

AacEncodeThread.cpp

#include "aacencodethread.h"

#include <QDebug>
#include <QFile>

extern "C" {
#include <libavcodec/avcodec.h>
#include <libavutil/avutil.h>
}

#define ERROR_BUF(ret) \
    char errbuf[1024]; \
    av_strerror(ret, errbuf, sizeof (errbuf));

AacEncodeThread::AacEncodeThread(QObject *parent) : QThread(parent)
{
    // 当监听到线程结束时(finished),就调用deleteLater回收内存
    connect(this, &AacEncodeThread::finished,
            this, &AacEncodeThread::deleteLater);
}

AacEncodeThread::~AacEncodeThread()
{
    // 断开所有的连接
    disconnect();
    // 内存回收之前,正常结束线程
    requestInterruption();
    // 安全退出
    quit();
    wait();
    qDebug() << this << "析构(内存被回收)";
}

// 检查采样格式
int AacEncodeThread::check_sample_fmt(const AVCodec *codec,enum AVSampleFormat sample_fmt) {
    const enum AVSampleFormat *p = codec->sample_fmts;

    while (*p != AV_SAMPLE_FMT_NONE) {
//        qDebug() << av_get_sample_fmt_name(*p);
        if (*p == sample_fmt) return 1;
        p++;
    }
    return 0;
}

// 音频编码
// 返回负数:中途出现了错误
// 返回0:编码操作正常完成
int AacEncodeThread::AacEncodeThread::encode(AVCodecContext *ctx,
                  AVFrame *frame,
                  AVPacket *pkt,
                  QFile &outFile) {
    // 发送数据到编码器
    int ret = avcodec_send_frame(ctx, frame);
    if (ret < 0) {
        ERROR_BUF(ret);
        qDebug() << "avcodec_send_frame error" << errbuf;
        return ret;
    }

    // 不断从编码器中取出编码后的数据
    // while (ret >= 0)
    while (true) {
        ret = avcodec_receive_packet(ctx, pkt);
        if (ret == AVERROR(EAGAIN) || ret == AVERROR_EOF) {
            // 继续读取数据到frame,然后送到编码器
            return 0;
        } else if (ret < 0) { // 其他错误
            return ret;
        }

        // 成功从编码器拿到编码后的数据
        // 将编码后的数据写入文件
        outFile.write((char *) pkt->data, pkt->size);

        // 释放pkt内部的资源
        av_packet_unref(pkt);
    }
}

void AacEncodeThread::aacEncode(AudioEncodeSpec &in, const char *outFilename)
{
    // 文件
    QFile inFile(in.filename);
    QFile outFile(outFilename);

    // 返回结果
    int ret = 0;

    // 编码器
    AVCodec *codec = nullptr;

    // 编码上下文
    AVCodecContext *ctx = nullptr;

    // 存放编码前的数据(pcm)
    AVFrame *frame = nullptr;

    // 存放编码后的数据(aac)
    AVPacket *pkt = nullptr;

    // 获取编码器
//    codec = avcodec_find_encoder(AV_CODEC_ID_AAC);
    codec = avcodec_find_encoder_by_name("libfdk_aac");
    if (!codec) {
        qDebug() << "encoder not found";
        return;
    }

    // libfdk_aac对输入数据的要求:采样格式必须是16位整数
    // 检查输入数据的采样格式
    if (!check_sample_fmt(codec, in.sampleFmt)) {
        qDebug() << "unsupported sample format"
                 << av_get_sample_fmt_name(in.sampleFmt);
        return;
    }

    // 创建编码上下文
    ctx = avcodec_alloc_context3(codec);
    if (!ctx) {
        qDebug() << "avcodec_alloc_context3 error";
        return;
    }

    // 设置PCM参数
    ctx->sample_rate = in.sampleRate;
    ctx->sample_fmt = in.sampleFmt;
    ctx->channel_layout = in.chLayout;
    // 比特率
    ctx->bit_rate = 32000;
    // 规格
    ctx->profile = FF_PROFILE_AAC_HE_V2;

    // 打开编码器
//    AVDictionary *options = nullptr;
//    av_dict_set(&options, "vbr", "5", 0);
//    ret = avcodec_open2(ctx, codec, &options);
    ret = avcodec_open2(ctx, codec, nullptr);
    if (ret < 0) {
        ERROR_BUF(ret);
        qDebug() << "avcodec_open2 error" << errbuf;
        goto end;
    }

    // 创建AVFrame
    frame = av_frame_alloc();
    if (!frame) {
        qDebug() << "av_frame_alloc error";
        goto end;
    }

    // frame缓冲区中的样本帧数量(由ctx->frame_size决定)
    frame->nb_samples = ctx->frame_size;
    frame->format = ctx->sample_fmt;
    frame->channel_layout = ctx->channel_layout;

    // 利用nb_samples、format、channel_layout创建缓冲区
    ret = av_frame_get_buffer(frame, 0);
    if (ret < 0) {
        ERROR_BUF(ret);
        qDebug() << "av_frame_get_buffer error" << errbuf;
        goto end;
    }

    // 创建AVPacket
    pkt = av_packet_alloc();
    if (!pkt) {
        qDebug() << "av_packet_alloc error";
        goto end;
    }

    // 打开文件
    if (!inFile.open(QFile::ReadOnly)) {
        qDebug() << "file open error" << in.filename;
        goto end;
    }
    if (!outFile.open(QFile::WriteOnly)) {
        qDebug() << "file open error" << outFilename;
        goto end;
    }

    // 读取数据到frame中
    while ((ret = inFile.read((char *) frame->data[0],
                              frame->linesize[0])) > 0) {
        // 从文件中读取的数据,不足以填满frame缓冲区
        if (ret < frame->linesize[0]) {
            int bytes = av_get_bytes_per_sample((AVSampleFormat) frame->format);
            int ch = av_get_channel_layout_nb_channels(frame->channel_layout);
            // 设置真正有效的样本帧数量
            // 防止编码器编码了一些冗余数据
            frame->nb_samples = ret / (bytes * ch);
        }

        // 进行编码
        if (encode(ctx, frame, pkt, outFile) < 0) {
            goto end;
        }
    }

    // 刷新缓冲区
    encode(ctx, nullptr, pkt, outFile);

end:
    // 关闭文件
    inFile.close();
    outFile.close();

    // 释放资源
    av_frame_free(&frame);
    av_packet_free(&pkt);
    avcodec_free_context(&ctx);

    qDebug() << "线程正常结束";
}

void AacEncodeThread::run()
{
    AudioEncodeSpec in;
    in.filename = "E:/media/test.pcm";
    in.sampleRate = 44100;
    in.sampleFmt = AV_SAMPLE_FMT_S16;
    in.chLayout = AV_CH_LAYOUT_STEREO;

    aacEncode(in, "E:/media/test.aac");
}

线程调用:

void MainWindow::on_pushButton_aac_encode_clicked()
{
    m_pAacEncodeThread=new AacEncodeThread(this);
    m_pAacEncodeThread->start();
}

注意:.h文件中提前声明了以下全局变量

AacEncodeThread *m_pAacEncodeThread=nullptr;


下面是aac解码成pcm

完整代码

AacDecodeThread.h

#ifndef AACDECODETHREAD_H
#define AACDECODETHREAD_H

#include <QFile>
#include <QObject>
#include <QThread>

extern "C" {
#include <libavformat/avformat.h>
}

typedef struct {
    const char *filename;
    int sampleRate;
    AVSampleFormat sampleFmt;
    int chLayout;
} AudioDecodeSpec;

class AacDecodeThread : public QThread
{
    Q_OBJECT
public:
    explicit AacDecodeThread(QObject *parent = nullptr);
    ~AacDecodeThread();

    static int decode(AVCodecContext *ctx,
                      AVPacket *pkt,
                      AVFrame *frame,
                      QFile &outFile);
    static void aacDecode(const char *inFilename,AudioDecodeSpec &out);

signals:


    // QThread interface
protected:
    virtual void run() override;
};

#endif // AACDECODETHREAD_H

AacDecodeThread.cpp

#include "aacdecodethread.h"

#include <QDebug>

extern "C" {
#include <libavcodec/avcodec.h>
#include <libavutil/avutil.h>
}

#define ERROR_BUF(ret) \
    char errbuf[1024]; \
    av_strerror(ret, errbuf, sizeof (errbuf));

// 输入缓冲区的大小
#define IN_DATA_SIZE 20480
// 需要再次读取输入文件数据的阈值
#define REFILL_THRESH 4096


AacDecodeThread::AacDecodeThread(QObject *parent) : QThread(parent)
{
    // 当监听到线程结束时(finished),就调用deleteLater回收内存
    connect(this, &AacDecodeThread::finished,
            this, &AacDecodeThread::deleteLater);
}

AacDecodeThread::~AacDecodeThread()
{
    // 断开所有的连接
    disconnect();
    // 内存回收之前,正常结束线程
    requestInterruption();
    // 安全退出
    quit();
    wait();
    qDebug() << this << "析构(内存被回收)";
}

int AacDecodeThread::decode(AVCodecContext *ctx,
                  AVPacket *pkt,
                  AVFrame *frame,
                  QFile &outFile) {
    // 发送压缩数据到解码器
    int ret = avcodec_send_packet(ctx, pkt);
    if (ret < 0) {
        ERROR_BUF(ret);
        qDebug() << "avcodec_send_packet error" << errbuf;
        return ret;
    }

    while (true) {
        // 获取解码后的数据
        ret = avcodec_receive_frame(ctx, frame);
        if (ret == AVERROR(EAGAIN) || ret == AVERROR_EOF) {
            return 0;
        } else if (ret < 0) {
            ERROR_BUF(ret);
            qDebug() << "avcodec_receive_frame error" << errbuf;
            return ret;
        }

//        for (int i = 0; i < frame->channels; i++) {
//            frame->data[i];
//        }

        // 将解码后的数据写入文件
        outFile.write((char *) frame->data[0], frame->linesize[0]);
    }
}

void AacDecodeThread::aacDecode(const char *inFilename, AudioDecodeSpec &out)
{
    // 返回结果
    int ret = 0;

    // 用来存放读取的输入文件数据(aac)
    // 加上AV_INPUT_BUFFER_PADDING_SIZE是为了防止某些优化过的reader一次性读取过多导致越界
    char inDataArray[IN_DATA_SIZE + AV_INPUT_BUFFER_PADDING_SIZE];
    char *inData = inDataArray;

    // 每次从输入文件中读取的长度(aac)
    int inLen;
    // 是否已经读取到了输入文件的尾部
    int inEnd = 0;

    // 文件
    QFile inFile(inFilename);
    QFile outFile(out.filename);

    // 解码器
    AVCodec *codec = nullptr;
    // 上下文
    AVCodecContext *ctx = nullptr;
    // 解析器上下文
    AVCodecParserContext *parserCtx = nullptr;

    // 存放解码前的数据(aac)
    AVPacket *pkt = nullptr;
    // 存放解码后的数据(pcm)
    AVFrame *frame = nullptr;

    // 获取解码器
    codec = avcodec_find_decoder_by_name("libfdk_aac");
    if (!codec) {
        qDebug() << "decoder not found";
        return;
    }

    // 初始化解析器上下文
    parserCtx = av_parser_init(codec->id);
    if (!parserCtx) {
        qDebug() << "av_parser_init error";
        return;
    }

    // 创建上下文
    ctx = avcodec_alloc_context3(codec);
    if (!ctx) {
        qDebug() << "avcodec_alloc_context3 error";
        goto end;
    }

    // 创建AVPacket
    pkt = av_packet_alloc();
    if (!pkt) {
        qDebug() << "av_packet_alloc error";
        goto end;
    }

    // 创建AVFrame
    frame = av_frame_alloc();
    if (!frame) {
        qDebug() << "av_frame_alloc error";
        goto end;
    }

    // 打开解码器
    ret = avcodec_open2(ctx, codec, nullptr);
    if (ret < 0) {
        ERROR_BUF(ret);
        qDebug() << "avcodec_open2 error" << errbuf;
        goto end;
    }

    // 打开文件
    if (!inFile.open(QFile::ReadOnly)) {
        qDebug() << "file open error:" << inFilename;
        goto end;
    }
    if (!outFile.open(QFile::WriteOnly)) {
        qDebug() << "file open error:" << out.filename;
        goto end;
    }

    while ((inLen = inFile.read(inDataArray, IN_DATA_SIZE)) > 0) {
        inData = inDataArray;

        while (inLen > 0) {
            // 经过解析器解析
            // 内部调用的核心逻辑是:ff_aac_ac3_parse
            ret = av_parser_parse2(parserCtx, ctx,
                                   &pkt->data, &pkt->size,
                                   (uint8_t *) inData, inLen,
                                   AV_NOPTS_VALUE, AV_NOPTS_VALUE, 0);

            if (ret < 0) {
                ERROR_BUF(ret);
                qDebug() << "av_parser_parse2 error" << errbuf;
                goto end;
            }

            // 跳过已经解析过的数据
            inData += ret;
            // 减去已经解析过的数据大小
            inLen -= ret;

            // 解码
            if (pkt->size > 0 && decode(ctx, pkt, frame, outFile) < 0) {
                goto end;
            }
        }
    }
    decode(ctx, nullptr, frame, outFile);

    // 赋值输出参数
    out.sampleRate = ctx->sample_rate;
    out.sampleFmt = ctx->sample_fmt;
    out.chLayout = ctx->channel_layout;

end:
    inFile.close();
    outFile.close();
    av_packet_free(&pkt);
    av_frame_free(&frame);
    av_parser_close(parserCtx);
    avcodec_free_context(&ctx);
}

void AacDecodeThread::run()
{
    AudioDecodeSpec out;
    out.filename = "E:/media/test.pcm";

    aacDecode("E:/media/test.aac", out);

    qDebug() << "采样率:" << out.sampleRate;
    qDebug() << "采样格式:" << av_get_sample_fmt_name(out.sampleFmt);
    qDebug() << "声道数:" << av_get_channel_layout_nb_channels(out.chLayout);
}

注意:本文为个人记录,新手照搬可能会出现各种问题,请谨慎使用


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随着互联网技术的不断发展&#xff0c;UDP协议作为一种快速、简单的传输协议被广泛应用于文件传输领域。然而&#xff0c;UDP协议传输过程中也存在着一些问题&#xff0c;如传输速度不稳定、数据丢失等&#xff0c;这些问题会影响到文件传输的效率和安全性。本文将介绍UDP协议传…

为什么要学习 Linux?

为什么要学习 Linux&#xff1f; 用 Linus 本人的话来说&#xff0c;用户不需要接触到操作系统。操作系统的功能是给应用程序提供API&#xff0c;因而&#xff0c;只有开发人员才需要学习操作系统。 最近很多小伙伴找我&#xff0c;说想要一些Linux的资料&#xff0c;然后我根…

公众号留言功能怎么没有了?

为什么公众号没有留言功能&#xff1f;2018年2月12日之后直到现在&#xff0c;新注册公众号的运营者会发现一个问题&#xff1a;无论是个人还是企业的公众号&#xff0c;在后台都找不到留言功能了。这对公众号来说绝对是一个极差的体验&#xff0c;少了一个这么重要的功能&…

看图说话:对脏读、不可重复度、幻读进行总结

1、脏读 「事务B」将 id 为 1 的用户 name 修改为“小卡”&#xff0c;事务未提交。「事务A」查询 id 为 1 的用户数据&#xff0c;此时 name 已为“小卡”。 2、不可重复度 「事务A」第一次读取 id 为 1 的用户&#xff0c;name 是 “卡卡”。「事务B」将 id 为 1 的用户 nam…

springboot2自动加载sql文件

文章目录 1. Spring Boot 2 初始化数据库脚本 data.sql & user.sql2. 文件放置的位置 如下表&#xff1a;3. application.yml 配置写法 1. Spring Boot 2 初始化数据库脚本 data.sql & user.sql user.sql &#xff1a;数据表结构 data.sql &#xff1a;数据内容 2. 文…

OpenLayers入门,OpenLayers6的WebGLPointsLayer图层样式和运算符详解,四种symbolType类型案例

专栏目录: OpenLayers入门教程汇总目录 前言 本章讲解使用OpenLayers6的WebGL图层显示大量点情况下,列举出所有WebGLPointsLayer图层所支持的所有样式运算符大全。 补充说明 本篇主要介绍OpenLayers6.x版本的webgl图层,OpenLayers7.x和OpenLayers8.x主要更新内容就是webgl…

wvp-gb28181-pro打包

生成可执行jar cd wvp-GB28181-pro mvn package复制错误已复制 生成war cd wvp-GB28181-pro mvn package -P war 生成的包的路径 wvp-GB28181-pro\target

秋招春招,我没有拿到一个offer怎么办?

看了很多案例&#xff0c;有所感想&#xff0c;也希望这个稿子&#xff0c;能带给大家一些帮助&#xff0c;理想的情况是&#xff0c;我能帮助一些勤劳上进的朋友&#xff0c;对于那些自暴自弃的&#xff0c;可能我无能无力。我想说的是&#xff0c;自己不去做&#xff0c;别人…

做Python自动化测试,我教你个方法还能快一倍!

如果你学过 python 进行自动化测试&#xff0c;你一定使用过 unittest。 今天我们要讲的 nose2 是一个高级版本的 unittest。他比 unittest 更容易理解&#xff0c;用起来也更加方便一些。 快速开始 nose2 在 unittest 的基础上开发的&#xff0c;所以如果你之前是用 unitte…

Leetcode—8.字符串转换整数(atoi)【中等】

2023每日刷题&#xff08;三十七&#xff09; Leetcode—8.字符串转换整数&#xff08;atoi&#xff09; 算法思想 参考k神的题解 实现代码 int myAtoi(char* s) {int len strlen(s);if(len 0) {return 0;}int boundary INT_MAX / 10;int i 0, ans 0;while(s[i] ) …

云计算实验如何结合AI来提高效率!

随着AI助手的流行&#xff0c;我们现在无论是学习还是工作都会带着一个他/她&#xff0c;如何让AI助手提高我们的工作效率是我们需要进化的方向。下面结合“云计算实验”来分享一下如何让AI帮助我们学得更快学得更好。 一、学习某个软件或复杂命令 比如在学习RockyLinux9.2中…

深入了解Performance API:优化网页性能的利器

在现代Web开发中&#xff0c;优化网页性能是至关重要的。用户对于加载速度和交互性能的要求越来越高&#xff0c;而Performance API作为一组用于测量和监控网页性能的JavaScript接口&#xff0c;为开发者提供了丰富的工具和信息。本文将深入探讨Performance API的各个方面&…

C语言获取win11新版终端WindowsTerminal窗口句柄

随着Win11的普及&#xff0c;越来越多的人都能发现获取控制台窗口不能再使用以下两种传统方法了&#xff1a; HWND hwnd GetConsoleWindow();HWND hwnd FindWindowA("ConsoleWindowClass",NULL);那是因为win11换了新的终端窗口&#xff0c;叫做WindowsTerminal&am…

60V降压恒流芯片 高调光比LED驱动器 SL6015B替代PT4115 电路简单

在LED照明领域&#xff0c;降压恒流芯片是一种非常重要的芯片&#xff0c;它可以将输入的电压降低并输出稳定的电流&#xff0c;从而为LED灯提供合适的驱动电源。其中&#xff0c;SL6015B是一款非常优秀的降压恒流芯片&#xff0c;它具有高调光比、简单的电路设计、低成本的优点…

三柱汉诺塔

题目描述 汉诺塔是约19世纪末&#xff0c;在欧州的商店中出售一种智力玩具。它的结构如下图所示&#xff1a; 在一个平板上立有三根铁针&#xff0c;分别记为A, B, C。开始时&#xff0c;铁针 A 上依次叠放着从大到小 n 个圆盘&#xff0c;游戏的目标就是将 A 上的 n 个圆盘…