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[NOIP2006 提高组] 能量项链

题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $N$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m\times r\times n$（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4$，$1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$(((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3)=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$。

输入格式

第一行是一个正整数 $N$（$4\le N\le 100$），表示项链上珠子的个数。第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$。第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记（$1\le i\le N$），当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记。第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 $E$（$E\le 2.1\times 10^9$），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例 #1

样例输入 #1

4
2 3 5 10

样例输出 #1

710

算法思想

根据题目描述，测试样例的合并过程如下：

由于只能合并相邻两个珠子，因此可以使用区间型动态规划的思想进行处理。

状态表示

$f[i][j]$表示从第$i$颗珠子一直合并到第$j$颗珠子释放的最大能量

状态计算

从最小的聚合长度$2$开始计算，以每次聚合为阶段，枚举聚合的起点，根据最后一次聚合的位置可以分为下面几种情况：

• 最后一次在$i$位置聚合，即将第$i$颗珠子和后面的$[i+\mathrm{1...}j]$珠子聚合，得到的分数为$f[i][i]+f[i+1][j]+s[i]\times s[i+1]\times r[j]$

• 最后一次在$i+1$位置聚合，即将前面的$[i...i+1]$颗珠子和后面的$[i+\mathrm{2...}j]$颗珠子聚合，得到的分数为$f[i][i+1]+f[i+2][j]+s[i]\times s[i+2]\times r[j]$

• …

• 最后一次在$k$位置聚合，即将前面的$[i...k]$颗珠子和后面的$[k+\mathrm{1...}j]$颗珠子聚合，得到的分数为$f[i][i+k]+f[k+1][j]+s[i]\times s[k+1]\times r[j]$

• …

• 最后一次在$j-1$位置聚合，即将前面的$[i...j-1]$颗珠子和第$j$颗珠子聚合，得到的分数为$f[i][j-1]+f[j][j]+s[i]\times s[j]\times r[j]$

$f[i][j]$为以上情况的最大值。其中$s[i]$表示第$i$颗能量珠的头标记，$r[j]$表示第$j$颗能量珠的尾标记，$s[i]\times s[j]\times r[j]$表示将两堆能量珠聚合释放的能量。

初始状态

• 为计算最大值$f[i][j]$应初始化$0$
• $f[i][i]$表示合并1堆，无效状态也应初始化为$0$。

除此之外，由于可以随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序，也就是说可以从任何一点出发进行合并。因此，需要采用拆环为链的方式进行处理，最后求以任意起点开始求释放能量的最大值。

时间复杂度

状态数为$n\times n$，状态计算时需要枚举最后一次合并位置，因此时间复杂度为$O(n^3)$。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 210;
int f[N][N];
//s[i]表示第i颗珠子的头标记，r[i]表示尾标记
int s[N], r[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) 
    {
        cin >> s[i];
        s[i + n] = s[i]; //拆环为链
    }
    //处理尾标记
    for(int i = 1; i < 2 * n; i ++) r[i] = s[i + 1];
    //枚举聚合长度
    for(int len = 2; len <= n; len ++)
    {
        //枚举聚合起点
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n * 2; i ++)
        {
            int j = i + len - 1; //聚合的结束位置
            //枚举聚合位置
            for(int k = i; k < j; k ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[i] * s[k + 1] * r[j]);
        }
    }
    //求以任一点为起点的最大值
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, f[i][i + n - 1]);
    cout << ans;
    return 0;
}