一、Games101 中出现的傅里叶变换(FT)的简单推导

到底什么是傅里叶变换：它的物理意义是什么，公式又从何而来？

以下的内容出现在 Games101 中的第八章：光栅化（深度测试与抗锯齿）

中，课程中这一部分大致介绍的内容是

任何周期函数 $f(x)$ 都可以分解为无数个不同频率、不同幅值的正、余弦信号。和泰勒展开一样，这也是一种函数展开/逼近方案：即傅里叶级数展开，其中左边那一张 PPT 就是一个简单的例子

右侧则为傅里叶变换及其逆变换：它和傅里叶级数展开的概念是非常相似的

如果不了解傅里叶变换(FT)，可能会对视频中右边突如其来的内容非常陌生，只知道它用于将一个函数变成另一个函数，但是这个式子是怎么推导的，具体是什么变成什么可能就没有太多头绪

而这一章的内容，主要就是对上面内容的答疑解惑

1.1 前置1：三角函数系

三角函数系即包含所有不同周期的三角函数的集合

$\{0,1, \sin x, \cos x, \sin 2 x, \cos 2 x, \cdots, \sin n x, \cos n x\}$

其中三角函数拥有一个非常重要的性质：正交性

$\int_{-\pi}^\pi \cos n x \cos m x d x=0 \quad n \neq m$
$\int_{-\pi}^\pi \sin n x \sin m x d x=0 \quad n \neq m$
$\int_{-\pi}^\pi \sin n x \cos m x d x=0$

和向量垂直内积为0一样，两个函数内积 $\int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x) d x=0$ 即两个函数正交，而对于上面的两个特例：即 m = n 的情况，其积分结果为 $\pi$

通过这个性质，后面可以很轻松的根据傅里叶原变换推导出其逆变换

1.2 前置2：三角函数的指数表示

3Blue1Brown 有一个视频很好的介绍了 $e^i$ 到底表达了什么，如果有兴趣的话可以直接去看：【官方双语】微分方程概论-第五章：在3.14分钟内理解e^iπ，搞懂这个之后，这一部分就可以直接跳过了

虚数 i 这个概念基本上只要上过高中的都知道，只不过大多数人对它的印象只剩下了一个公式 $i^2 = -1$ ：其余的就都不记得了，那么乘以虚数的意义又是什么呢？

如上图有三个线段线段，线段 AB 的长度是1：当它乘以2的时候，它的长度发生了变化，拉伸成了线段 EF，而当它乘以 -1 的时候，就变成了线段 CD，或者说代表着原线段在数轴上围绕原点旋转了 180°

既然乘以 -1 相当于旋转 180°，考虑到 $i^2 = -1$ ，那么是不是就可以理解为：乘以 i 就是旋转了 90°？

是的，不过到此如果只考虑一维的实数轴就不够用了，因此我们可以加一条垂直的虚数轴已构成一个复平面，这样我们就可以把虚数乘法也表示出来：即乘以实数表拉伸，乘以虚数表旋转

但是到这里还没有结束，要知道本章之所以要提到虚数 i，主要是为了解释后面出现的 $e^i$ ，以及经典的欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ，可能就算你理解了虚数乘法，也未必能理解虚数作为指数意味着什么

一个事实是：其实很多时候某些东西单独看是没有意义的，只不过为了实现一些目的，我们后来的人们手动赋予了它意义，尽管你完全理解不了：是的它就是一个定义，数学家就是这么理解它的（当然其一定是有依据的，而不是乱来）

而虚数作为指数就是这么被“定义”出来的，其实它已经和正常我们理解的指数完全不是一个概念了，也就是说我们不能说 $e^i$ 就是连续 i 个 e 相乘，它是错误且没有意义的，事实上，它表达的是下面这个东西：

即 $e^i$ 表示为单位线段旋转一定角度，这个角度对应的弧长为1，这个定义是根据复导数 $\frac{d}{d t} e^{i t}=i \cdot e^{i t}$ 反推出来的，当然具体细节就不再展开，有兴趣的话可以本节看上面引用的视频

知道这个后，两个著名的公式其实就不难理解了，你也可以瞬间化为数屑家去把它们推出来：

$e^{i \pi}+1=0$
$e^{i x}=\cos x+i \sin x$

后面主要会用到的，其实就是的下面的公式

1.3 傅里叶级数的推导

好了，可以回来了前面的内容：任何周期函数 $f(x)$ 都可以分解为无数个不同频率、不同幅值的正、余弦信号，不妨可以先考虑最简单的情况，也就是先保证 $f(x)$ 周期 $T = 2\pi$ ，即 $f(x)=f(x+2 \pi)$

那么对于上面部分的数学表示，就有： $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin n x$

，其中 $a_n$ 和 $b_n$ 都为常数项，然后有意思的就来了：有了这个级数表示，我们能不能得到一个左侧为 $a_n$ 的等式呢？

当然是可以的，就利用上面的三角函数的正交性求积分即可：

先计算最简单的 $a_0$ ：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin n x = a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$

两边积分有：

$\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=\int_{-\pi}^\pi a_0 d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x d x$

根据三角函数的正交性，可以知道后面两项看上去复杂，其实都为0，也就有：

$\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=a_0 \int_{-\pi}^\pi d x=\left.a_0 x\right|_{-\pi} ^\pi=2 \pi a_0$

好了，到此结果显而易见了

接下来用同样的方法计算 $a_n$ ：不过这一次我们在两边同时积分之前，先全部乘上 $cosmx$

$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x= \\ \int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos m x d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x \cos m x d x+\int_{-\pi }^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x \cos mx d x \\$

一样根据三角函数的正交性，第一项和第三项为0：就有

$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x=\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x \cos m x d x$

并且当前仅当 n = m 时，右侧的积分结果不为0，也就是说

$\int_{-\pi}^\pi f(n) \cos n x d x=\int_{-\pi}^\pi \operatorname{a_ncos} n x \cos n x d x=\operatorname{a_n} \int_{-\pi}^\pi \cos ^2 nx d x$

$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x$

游戏结束，关于 $b_n$ 的计算同理

好了，到此就可以得到一个最基础的傅里叶级数形式：

对于满足周期 $T = 2\pi$ 的 $f(x)$ ， $f(x)=f(x+2 \pi)$ ，有：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$

其中：

$\begin{aligned} &a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x \\ &b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x \end{aligned}$

1.3.1 任意周期函数的傅里叶级数

前面考虑的 $f(x)$ 周期满足最简单的 $T = 2\pi$ ，现在在理解了上面内容的基础值之上，可以考虑去推导任意周期的通式

考虑周期 $T = 2L$ ，L 为任意值，也就是 $f(x)=f(x+2L)$ ，那么就可以用换元法：

$f(t)=f\left(\frac{L}{\pi} x\right) \triangleq g(x)$ ，其中 $g(x)=g(x+2 \pi)$ ，满足前面的傅里叶变换的级数形式

那么此时就只需要把 $x=\frac{\pi}{L} t = wt$ 带入到前面的级数推导中，就可以得出任意周期函数的傅里叶级数形式：

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega t+b_n \sin n \omega t\right)$

其中：

$\begin{aligned} &a_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos n \omega dt \\ &b_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin n \omega dt \end{aligned}$

1.3.2 傅里叶级数的复数形式

好了转折点来了，现在我们把前面第二节的欧拉公式拿过来： $e^{i x}=\cos x+i \sin x$

这个依旧是可以逆推得到（因为离本章的主题比较远，这一部分的详细推导就略了）

$\cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right)$
$\sin \theta=-\frac{1}{2} i\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right)$

将其带入前面的傅里叶级数 $f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega t+b_n \sin n \omega t\right)$ 有

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2}a_n\left(e^{i n \omega t}+e^{-i nw t}\right)-\frac{1}{2} ib_n\left(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}\right)\right] \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_n-i b_n}{2} e^{i n \omega t}+\frac{a_n+i b_n}{2} e^{-i n \omega t}\right] \\ =\sum_{n=0}^0 \frac{a_0}{2} e^{i n \omega t}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n} -ib_n}{2} e^{i n \omega t} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_{-n} + ib_{-n}}{2} e^{i n \omega t} \\$

到这你会发现，其实这三个求和公式对应的区间加在一起正是负无穷到正无穷，并且它们的项都是 $e^{i n \omega t}$ ，只是系数不同而已，因此可以直接将这三项整合起来得到：

$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

其中：

$c_n= \begin{cases}\frac{a_0}{2}, & n=0 \\ \frac{a_n-i b_n}{2}, & n=1,2,3,4 \cdots \\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} & n=-1,-2,-3,-4 \cdots\end{cases}$

好了，到此就只剩下最后一步了：那就是把前面 $a_n$ 和 $b_n$ 的结果代进去，就有

$c_n=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos n \omega t-i\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin n \omega t\right) \\ =\frac{1}{T} \int_0^T f(t)(\cos n \omega t-i \sin n \omega t) d t$

仔细看，右边像不像欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ？此时配合奇函数偶函数的积分性质，就可以得出 $c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$

而对于其它情况例如 $c_n =\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}$ 的推导，你也会得到一个完全相同的结果，可以说是非常的妙，到此为止，我们就得到了一个完美的傅里叶级数复数形式：

对于周期为 T 的函数 $f(t)$ ，有：

$c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$ ， $w_0 = \frac{2\pi}{T}$
$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

通过等式①，我们可以对一段函数进行滤波，把指定频率的波段/信号给筛出来

1.4 非周期函数傅里叶变换推导

休息一会再来，前面对于 $f(t)$ ，我们求得了他为周期函数情况下的傅里叶级数展开，现在尝试求出真正的“通解”：即任意 $f(t)$ 的傅里叶变换

照应开头，主角要登场了！

1.4.1 时域与频域

这里强烈推荐一篇文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版），里面关于频域与时域的介绍非常形象，并且和本文长篇的公式推导不同，里面基本不含任何复杂的数学公式，如果看多了 LaTex 换个心情也是可以的

还是那个周期为 T 的函数 $f(t)$ ，如果我们画出对应的函数图像，横轴为 t，纵轴为 $f(t)$ ，那么这个图像就是标准的时域图像，其中横轴变量 t 就代表着时间(Time)

然后就是傅里叶级数：

$c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$ ， $w_0 = \frac{2\pi}{T}$
$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

对于第②个式子，真正能决定最终函数结果的其实是其中的系数 $c_n$ ，而后面的 $e^{i n \omega t}$ 其实是一种规则，代表着不同频率的波

因此，有另一个函数图像也可以用于表示 $f(t)$ ，其横轴为 $n \omega$ ，纵轴为对应的常量 $c_n$ ，这便是 $f(t)$ 的标准频域图像，该函数也被称为频谱函数，正好是上面的第①个式子，其中横轴 $n \omega$ 对应着频率，而纵轴 $c_n$ 就对应着该频率的波的幅值

如果要更准确的说法，常量系数 $c_n$ 应该是一个复数，因为不止考虑幅值，还应考虑相位，不过我觉得这篇文章作为科普性质的话，讲这个稍微有点超纲了，所以只需要尝试去理解下就好，后面就默认只考量幅值

对于周期 T 有限的情况下， $n \omega$ 的结果是离散的，因此对于周期函数的频域图像，其更像是一个冲激函数图像，即只可能会在横轴坐标为 $\{0,w, 2w, 3w, \cdots, nw\}$ 的位置下出现非0的 $c_n$ 结果

将频域图像和时域图像联系起来，就是下面这个样子（该图片来源于维基百科）：

从频域图中也可以看出，周期函数 T 越大，对应的 w 越小，冲激函数的图像就越加密集，而对于非周期函数 T，其实也可以理解为 T 无穷大，此时对应的频率 w 无穷小，频域图像就看上去是连续的了：

同理，如果拉伸 $f(t)$ 的时域图像，那么其频域图像则会被压扁

1.4.2 傅里叶变换的最终形式

基频 $w_0 = \frac{2\pi}{T}$ 相当于周期函数的傅里叶级数中两个相邻频率的差值 $(n+1) \omega_0-n \omega_0$ ，当周期 T 无穷大时，我们可以把它记作 $d\omega$ 或 $\Delta \omega$ ，这样就得到了针对非周期函数的频谱函数：

$c_n=\frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i w t} d t$

此时 $c_n$ 趋近于0，意义不大，但是我们可以将其带入到上面②式 $f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$ 就有

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t\right) e^{in \omega t}= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t\right) e^{i \omega t} d \omega$