一、概念

对于两个字符串 A 和 B，通过基本的增删改将字符串 A 改成 B，或者将 B 改成 A，在改变的过程中我们使用的最少步骤称之为“编辑距离”。比如如下的字符串：我们通过种种操作，痉挛之后编辑距离为 3，不知道你看出来了没有？

二、解析

可能大家觉得有点复杂，不好理解，我们试着把这个大问题拆分掉，将"字符串 vs 字符串“，分解成”字符 vs 字符串“，再分解成”字符 vs 字符“。
<1> ”字符“vs”字符“
这种情况是最简单的了，比如”A“与”B“的编辑距离很显然是1。
<2> ”字符”vs"字符串"
”A“改成”AB“的编辑距离为1，“A”与“ABA”的编辑距离为2。
<3>“字符串”vs“字符串”
“ABA”和“BBA”的编辑距离为 1，仔细发现我们可以得出如下结论，”ABA“是由 23 个子序列与”BBA“字符串求的的编辑距离集合中取出的最小编辑距离，也就是说在这种情况下我们出现了重复计算的问题，我在求子序列”AB“和”BBA"的编辑距离时，我是由子序列”A“和”BBA“与”B“和”BBA“之间的编辑距离中选出一个最小值，然而序列 A 和序列 B 早之前我已经计算过了，这种重复计算的问题有点像”斐波那契”，正好满足“动态规划”中的最优子结构和重叠子问题，所以我们决定采用动态规划来解决。

三、公式

跟“最长公共子序列”一样，我们采用一个二维数组来保存字符串 X 和 Y 当前的位置的最小编辑距离。
现有两个序列 X={x1,x2,x3，…xi}，Y={y1,y2,y3，…，yi}，设一个 C[i,j]: 保存 Xi 与 Yj 的当前最小的 LD。
①： 当 Xi = Yi 时，则 C[i,j]=C[i-1,j-1]；
②：当 Xi != Yi 时， 则 C[i,j]=Min{C[i-1,j-1],C[i-1,j],C[i,j-1]}；
最终我们的 C[i,j]一直保存着最小的 LD。

四、代码

 using System;
 
 namespace ConsoleApplication2
 {
     public class Program
     {
         static int[,] martix;
 
         static string str1 = string.Empty;
 
         static string str2 = string.Empty;
 
         static void Main(string[] args)
         {
             while (true)
             {
                 str1 = Console.ReadLine();
 
                 str2 = Console.ReadLine();
 
                 martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
 
                 Console.WriteLine("字符串 {0} 和 {1} 的编辑距离为:{2}\n", str1, str2, LD());
             }
         }
 
         /// <summary>
         /// 计算字符串的编辑距离
         /// </summary>
         /// <returns></returns>
         public static int LD()
         {
             //初始化边界值(忽略计算时的边界情况)
             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
             {
                 martix[i, 0] = i;
             }
 
             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
             {
                 martix[0, j] = j;
             }
 
             //矩阵的 X 坐标
             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
             {
                 //矩阵的 Y 坐标
                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
                 {
                     //相等情况
                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
                     {
                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1];
                     }
                     else
                     {
                         //取“左前方”，“上方”，“左方“的最小值
                         var temp1 = Math.Min(martix[i - 1, j], martix[i, j - 1]);
 
                         //获取最小值
                         var min = Math.Min(temp1, martix[i - 1, j - 1]);
 
                         martix[i, j] = min + 1;
                     }
                 }
             }
 
             //返回字符串的编辑距离
             return martix[str1.Length, str2.Length];
         }
     }
 }