欧姆定律

电流、电压和电阻之间的基本关系被称为欧姆定律，可能是电子学中最著名和最基本的物理定律。 1827 年，德国物理学家格奥尔格·西蒙·欧姆 (Georg Simon Ohm) 在《Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet》。

在第一部分中，我们将介绍宏观欧姆定律，这是在学习过程早期向学生展示的形式。

在第二部分中，我们将看到可以根据电路的拓扑结构及其源的性质来调整方程的不同形式，特别是在考虑交流状态时。

第三部分介绍了更高级的概念，其中我们重点关注方程的介观定义，该方程被称为欧姆定律的局部表达式。

1、概述

我们考虑流过电阻器 $R$ 的电流 $I$，电阻器 $R$ 在其端子处产生电势差 $U$：

图1：流经电阻的电流在其端点处的电压

欧姆定律在这三个参数之间建立了简单的线性关系，例如 $U=R\times I$。 任何验证欧姆定律的电气元件都可以标记为欧姆导体，并呈现如图 2 所示的电压-电流特性：

图2：欧姆导体的U/I特性

值得注意的是，欧姆定律是经验定律，这意味着它来自实验观察而不是理论。

宏观形式广泛应用于电子电路中，是一个非常有用的公式。 我们可以利用其他两个参数（例如 $U$ 和 $I$）的知识来计算未知参数（例如 $R$）。 此外，它允许我们以 $P=R\times I^2$ 的形式写出电阻器中耗散功率的表达式。

2、AC电路的等效性

当电流和电压为正弦波形时，欧姆定律可以推广。 在这种情况下，我们使用复数表示法来写出 $U=Z\times I$ 等定律，其中 $Z$ 是一组线性元件（电阻器、电容器和电感器）的复数阻抗。

2.1 输入电阻

如果我们再次考虑交流状态下图 1 所示的电路，欧姆定律可以写为$u(t)=R_i(t)$，其中 $i(t)=I\times \sin (\omega t)$，$u(t)=U\times \sin (\omega t+\varphi )$，$I$、$U$是各个信号的幅度。 然而，由于纯电阻分量中的相位差为零，因此我们得到 $U=RI$。

在交流状态下，电阻器中欧姆定律的表达式与直流状态下类似。

2.2 输入电感

当考虑电抗元件时，情况会有所不同，让我们从电感器开始：

图3：电感L的电感器上的交流电压和电流

根据楞次定律，电感器产生的电压 $u(t)$ 与电感和电流 $i(t)$ 的变化成正比，如公式 1 所示：

图4：电感器中的电压和电流之间的关系

由公式1可知，电流与电压的关系可写为$u(t)=L\omega \times I\sin (\omega t+\varphi )$。 当使用复数表示法并且知道复数域中的推导操作类似于乘以 $j\omega$ 时，演示会更加容易，其中包括将相量 $i(t)$ 乘以 $\omega$ 并进行 $\varphi =+\pi /2$ 的旋转 rad（请参阅有关相量图和代数的文章）。

因此，在电感器中，电流和电压信号的相移为 $△\varphi =+\pi /2rad$。 由于通常将电压视为参考，因此其表达式保持不变（$u(t)=U\times \sin (\omega t)$），而电流可写为$i(t)=I\times \sin (\omega t+\varphi )$。

电感器中的欧姆定律可以写成 $U=L\omega I $； $\varphi =+\pi /2$ rad。

2.3 输入电容

最后，我们讨论交流状态下的电容器：

图5：电容C的电容器两端的交流电压和电流

在这个配置中，电容器的电荷是时间的函数，其表达式为$q(t)=C\times u(t)$。 由于$i(t)=dq(t)/dt$，我们可以直接或使用复数表示法证明$i(t)=-C_{\omega }\times U\sin (\omega t+\varphi )$。

如果我们再次考虑电压为参考信号，则这里的相移为 $\triangle \phi =-\pi/2 $rad，因此电流的表达式为 $i(t)=I\times \sin (\omega t-\varphi )$。

电容器中的欧姆定律可以写成 $U=I/C_{\omega }$ ； $\varphi =-\pi /2弧度$。

3、欧姆定律的局部形式

在本节中，我们讨论一个更高级的概念，称为欧姆定律的局部形式。 在介绍这种特殊形式之前，我们需要先介绍和定义一些概念。 我们要注意，在下文中，向量以粗体显示，而标量则不是。

3.1 介绍和定义

局部形式可以应用于微观和宏观之间的中间空间尺度，称为介观尺度。 通常，介观尺度被认为足够大，可以在基本体积中包含大量粒子（在我们的例子中是电子），但又足够小，以便压力和温度等参数保持局部状态。

我们通常将电子称为“电荷载流子”或简称为“载流子”，它们由载流子密度 $n_e$、速度矢量 $v$、基本电荷e和质量$m_e$定义。

根据这些参数，我们可以定义一个重要的向量 $j$，称为电流密度，为 $j=-e{n}_{e}v$。 术语$-e{n}_e$也称为电荷密度，记为${\rho }_e$。

3.2 德鲁德模型(Drude Model)

考虑 $S$ 段的欧姆导体，施加一定的电压 $V$，该电势差会产生电场 $E$，迫使导体的载体移动：

图6：欧姆导体内的力（红色）和场的示意图

载体的运动由两个作用方向相反的力决定：

• 电力 $-eE$ 倾向于使电子沿与电场相反的方向移动（带正电的载流子的方向相同）。
• 摩擦力 $-kv$ 往往会减慢电子速度。 该力是由构成欧姆导体晶格的静止电荷产生的，电子有一定的概率会撞击其中。参数 $k$ 是一个常数，取决于被视为导体的材料。

Drude 模型（1900）包括考虑这两种力并将牛顿第二定律应用于载体：

公式2：德鲁德模型中的牛顿第二定律

3.3 局部形式表达式

我们可以重新整理公式 2，写出 $k/m=1/\tau$，其中 $\tau$ 是欧姆导体的弛豫时间参数：

在永久状态 ($t>>\tau$) 中，该一阶微分方程接受以下表达式作为解：

最后，电流密度可以重写为：

我们通常将标量项 $\delta$ 写为电导率，局部欧姆定律规定 $j=\delta E$。

局部形式对于研究微观尺度的电特性特别有帮助。

4、电阻和宏观欧姆定律

欧姆导体中的电场可以写成 $E=(V/L{)}_n$，其中 $n$ 是与 $E$ 方向相同的单位矢量。

电流$I$定义为：

电流（$C/s$）确实可以理解为穿过截面（$m^2$）的电流密度（$C/m^2/s$）之和。

对于图 5 所示的拓扑，前面的表达式可以简化为$ I=\delta ES$。当用$V/L$替换字段E时，我们得到：

最后，我们可以得出结论，欧姆定律的局部形式使我们能够检索宏观欧姆定律和电阻 $R=L/(\delta S) $的定义。 我们还可以注意到，$1/\delta$ 可以用 $\rho$ 代替，$\rho$ 定义为欧姆导体的电阻率。

然而，积分表达式的简化吸引了两个强有力的假设：电导率$\delta$ 在整个材料中是恒定的，电流密度 $j$ 与材料的轴共线并且均匀。 基本上，这两个假设可以通过假设材料是各向同性的（所有方向上的均匀性）来收集。

在一般情况下，对于任何拓扑并且如果材料是各向异性的，则可以使用以下公式计算电阻：

5、总结

• 本文重点介绍著名的物理定律，即欧姆定律。 第一部分进行了回顾，其中显示了其框架、定义、后果和用途。
• 第二部分给出了供应源在 AC 制度下运作的更一般的法律形式。 当考虑电子学的三个基本元件时，我们意识到交流状态下的定律形式对于电阻器来说不会改变，但对于电抗元件来说却有不同的写法。
• 在最后一节中，我们提出了欧姆定律的局部形式，它适用于宏观和微观世界之间的中间尺度：介观尺度。 首先介绍了许多新的定义和概念，然后通过Drude模型解释如何获得局部表达。 最后，我们证明了可以从局部形式中检索出定律的宏观形式以及阻力的表达。