一、引入新标记方法

首先，引入一些新的标记方法，以便更好地讨论神经网络的代价函数。考虑神经网络的训练样本，其中每个样本包含输入 x 和输出信号 y。我们用 L 表示神经网络的层数，表示每层的神经元个数（表示输出层神经元个数）。对于分类问题，将神经网络的分类定义为两种情况：二类分类和多类分类。

二、代价函数的变化

回顾逻辑回归问题中的代价函数，有：

在神经网络中，输出变量和因变量都是向量，因此代价函数更为复杂：

这个代价函数考虑了每个样本的每个类别的预测，并通过嵌套的求和来处理不同层的权重。最后一项是正则化项，用于排除每一层的偏置项后，每一层的权重矩阵的平方和。

三、正则化的重要性

正则化项在神经网络中同样发挥着重要作用，帮助防止过拟合。通过惩罚权重矩阵中的大值，可以有效地控制模型的复杂性，提高其泛化能力。

通过代价函数，能够观察算法预测结果与实际情况的误差，为调整模型参数提供有力的指导。深入理解神经网络代价函数的结构和作用，有助于更好地理解模型的训练过程和性能评估。

参考资料：

[中英字幕]吴恩达机器学习系列课程

黄海广博士 - 吴恩达机器学习个人笔记