如何在时间循环里最优决策？

时间循环是一类热门的影视题材，其设定常常如下：主人公可以主动或被动的回到过去。与此同时，主人公会希望利用这样的机会改变在之前的经历中不完美的结果。为此，主人公调整自己的行为，使得结果发生变化。

一些和时间循环有关的电影

例如，时间循环电影开山之作《土拨鼠之日》（Groundhog Day）讲述了男主被困在土拨鼠日（2月2日）这一天，在日复一日的重复中不断调整自己的行为，终于成功追求到心爱的女主角并跳出时间循环。

试想，如果你是落入时间循环的主角，那应该如何决策才能趋利避害呢？

时间旅行和平行宇宙

在讨论决策的方法之前，首先要指出，只有在某些时间旅行设定下，才可能发挥主观能动性趋利避害。

时间旅行的设定要从时间悖论谈起。时间悖论是指由于时间旅行而引发的悖论。下面来看一个时间悖论的例子：我网购了一箱盲盒希望能抽到值钱的限量款。但是我收到盲盒并拆开后发现里面都是不值钱的普通款，并没有值钱的限量款。这时候我就可以考虑时间旅行，告诉过去的自己说别买盲盒，因为我抽不到限量款。然后过去的我听从了我的建议，导致我没有买盲盒。这就引发了悖论：我既然没有买盲盒，怎么知道我如果买了盲盒抽不到限量款？我既然不知道我买了盲盒也抽不到限量款，我怎么会告诉过去的自己这个事情？这里就有矛盾。

时间旅行引发的悖论

对于这样的时间悖论，有以下几种常见解释：

• 时间不可逆。这种解释认为，时间维度和其他空间维度不同，它是不对称的、不可逆的。所以，时间旅行不存在。这种解释否认了时空旅行的存在性，悖论就不可能发生。

• 命定悖论：命定悖论不是一个悖论，而是对时间悖论的解释。这种解释认为，时间旅行不能改变结果，所有的结果都是“命中注定的”，是已经考虑了时间旅行后的综合结果。例如，在盲盒的例子中，我是否买盲盒，已经是考虑了时间旅行的结果。即使未来的我告诉过去的我不要买盲盒，过去的我依然会固执地买了盲盒，最终知道盲盒里没有限量款。

• 平行宇宙：这种解释认为，时间旅行者进行时间旅行时，并不是到旅行到其原来所在的宇宙，而是旅行到其他宇宙（称为“平行宇宙”）。原来宇宙中的结果不会改变，改变的只可能是其他平行宇宙中的结果。比如在盲盒的例子中，拆了盲盒的我所在的宇宙中我依然还是买了盲盒、拆了盲盒，而我是告诉另外一个宇宙的自己不要买盲盒，所以另外一个宇宙中的自己并没有买盲盒、拆盲盒。

不同的时间悖论解释对应着不同的设定。在不同的设定下我们的能做的也不相同。

在时间不可逆的设定中，时间循环不存在，所以没啥可研究的。

在命定悖论的设定中，一切都是命中注定的，一切事情是你已经发挥了主观能动性的结果，不可能存在其他不同的结果。

在平行宇宙设定中，虽然不能改变当前宇宙中的结果，但是有希望在其他宇宙中获得更好的结果，这才是值得我们讨论的设定。

强化学习

那么在平行宇宙的设定下，我们应该怎样决策才能趋利避害呢？学术界对此已经有了完美的解决方案，那就是强化学习。

强化学习的通常设定如下：在系统里有智能体和环境，智能体可以观察环境、做出动作决策，环境会在动作决策的影响下演化，并且会给出奖励信号来指示智能体的成功程度。智能体希望得到的总奖励信号尽可能多。

智能体可以一遍又一遍的和环境交互。每一轮序贯交互称为一个回合。智能体可以和环境一个回合又一个回合的交互，并在交互过程中学习并改进自己的策略。我们可以把一个训练回合看作在一个宇宙内，通过在多个宇宙的训练结果，让自己在后续宇宙中的结果更优。

强化学习有很多算法，下面我们来介绍其中的一种比较简单的算法——策略梯度算法。

策略梯度算法

强化学习有很多算法，下面我们来介绍一个比较简单的算法——策略梯度算法（Vanilla Policy Gradient，VPG）。

策略梯度算法把智能体的策略建模为带参数的概率分布，记为。其中，是可以调节的策略参数，是环境在时刻的状态，是可以直接观察到的；是一个概率分布。是智能体观察到状态后选择的动作：采用策略参数的情况下，在处做出动作的概率是。不同的策略参数对应者不同的策略。在每个回合中，得到的回合总奖励为。策略梯度算法通过修改策略参数，使得回合总奖励的期望尽可能大。
为了让回合总奖励的期望尽可能大，策略梯度算法试图通过修改策略参数来增大，以达到增大的目的。这个算法的步骤如下图所示。

为什么增大就能增大回报期望呢？

我们可以这样想：在采用策略参数的情况下，在状态处做出动作的概率是。如果我们把这个概率值称为决策部分的似然值，那么决策部分的对数似然值就是。那么在整个回合中所有的动作做出所有的概率就是，或者说决策部分的对数似然值是。

如果这回合的回报好，即比较大（比如是很大的正值），那么我们会希望以后更常出现这样的决策，就会希望增大对数似然值。如果这回合的回报差，即比较小（比如是绝对值很大的负值），那么我们会希望以后不要再出现这样的决策，就会希望减小对数似然值。
所以，我们可以把作为加权的权重，试图增大就有机会增加回报期望。

当然，上述解释并不是非常严格的数学证明。按照强化学习的理论，其理论基础是策略梯度定理，有兴趣的读者可以看《强化学习：原理与Python实战》查阅其定理的内容、证明和解释。

代码案例

现在我们来通过一个代码案例，演示策略梯度算法的使用。

为了简单，我们选择了一个简单的环境：车杆平衡（CartPole-v0）。

车杆平衡问题由强化学习大师级人物Andrew Barto等人在1983年的论文《Neuronlike adaptive elements that can solve difficult learning control problem》里提出后，大量的研究人员对该环境进行了研究、大量强化学习教程收录了该环境，使得该环境成为最著名的强化学习环境之一。

车杆平衡CartPole问题（图片来源：https://gym.openai.com/envs/CartPole-v0/）

车杆平衡问题如图，一个小车（cart）可以在直线滑轨上移动。一个杆（pole）一头连着小车，另一头悬空，可以不完全直立。小车的初始位置和杆的初始角度等是在一定范围内随机选取的。智能体可以控制小车沿着滑轨左移或是右移。出现以下情形中的任一情形时，回合结束：

• 杆的倾斜角度超过12度；

• 小车移动超过2.4个单位长度；

• 回合步数达到回合最大步数。

每进行1步得到1个单位的奖励。我们希望回合能够尽量的长。

任务CartPole-v0回合最大步数为200。

这个问题中，观察值有4个分量，分别表示小车位置、小车速度、木棒角度和木棒角速度，其取值范围如表所示。动作则取自{0,1}，分别表示向左施力和向右施力。

用法：想要用这个环境，需要先安装Python库Gym。安装Gym库的方法可以参见

https://github.com/ZhiqingXiao/rl-book/blob/master/zh2023/setup/setupwin.md

安装好Gym库后，可以用下列代码导入环境。

代码 导入环境

import gym
env = gym.make(“CartPole-v0”)

在实现智能体之前，我们先来实现智能体和环境的交互函数。函数play_episode()让智能体和环境交互一个回合。这个函数有三个参数：

• 环境对象env：它可以通过gym.make(“CartPole-v0”)直接获得。

• 智能体对象agent：我们一会儿要实现智能体类，它就是智能体类的对象。这个智能体需要实现一些成员，包括agent.reset(mode)、agent.step(observation, reward, terminated)、agent.close()。后文会介绍如何实现这些成员。

• 模式参数mode：字符串类型，可以是’train’和’test’。这个参数会进一步传到agent.reset(mode)中。如果是’train’那么智能体会处于训练模式，会更新参数；如果是’test‘则智能体会处于训练模式。

在函数内部，先初始化环境和智能体。然后环境和智能体不断交互，直到回合结束或截断（截断指达到了回合最大的步数）。然后返回回合步数和回合总奖励。

代码

智能体和环境交互一个回合

def play_episode(env, agent, mode=None):
    # 初始化
    observation, _ = env.reset()
    reward, terminated, truncated = 0., False, False
    agent.reset(mode=mode)
    episode_reward, elapsed_steps = 0., 0

    # 交互
    whileTrue:
        action = agent.step(observation, reward, terminated)
        if terminated or truncated:
            break
        observation, reward, terminated, truncated, _ = env.step(action)
        episode_reward += reward
        elapsed_steps += 1

    # 结束
    agent.close()
    return episode_reward, elapsed_steps

接下来我们来看智能体类VPGAgent类。

这个类的实现用到了PyTorch库。之所以使用PyTorch，是因为算法要更新以增大，而这样的优化问题可以借助PyTorch来实现。我们可以用PyTorch搭建出以为可训练变量的表达式（即损失函数），用优化器来最小化。

除了基于PyTorch实现外，也可以基于TensorFlow来实现对应的功能。文末既给出了两套代码的链接，一套基于PyTorch，另一套基于TensorFlow，你可以任选一个。这两套代码都收录在了书籍《强化学习：原理与Python实现》中。

我们来看看基于PyTorch的类VPGAgent的详细实现。它的构造函数__init__(self, env)准备了策略函数self.policy_net是Softmax激活的线性层，指定了优化器为Adam优化器。初始化函数reset(self, mode)在训练模式下，准备好存储轨迹的列表self.trajectory，以便于后续交互时存储轨迹。交互函数step(self, observation, reward, terminated)根据观测给出动作概率，并且训练模式下存储交互记录到self.trajectory中。结束函数close(self)在训练模式下调用学习函数learn(self)。学习函数learn(self)利用self.trajectory中存储的记录进行训练：先得到得到状态张量state_tensor、动作张量action_tensor和回合奖励张量return_tensor。再利用状态张量和动作张量计算对数概率。在计算对数概率时，使用了torch.clamp()函数限制数值范围，以提升数值稳定性。利用回合奖励张量和对数概率张量进而计算得到损失张量loss_tensor，最后用优化器optimizer减小损失。

代码 智能体

import torch
import torch.distributions as distributions
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class VPGAgent:
    def __init__(self, env):
        self.action_n = env.action_space.n
        self.policy_net = nn.Sequential(
                nn.Linear(env.observation_space.shape[0], self.action_n, bias=False),
                nn.Softmax(1))
        self.optimizer = optim.Adam(self.policy_net.parameters(), lr=0.005)

    def reset(self, mode=None):
        self.mode = mode
        if self.mode == 'train':
            self.trajectory = []

    def step(self, observation, reward, terminated):
        state_tensor = torch.as_tensor(observation, dtype=torch.float).unsqueeze(0)
        prob_tensor = self.policy_net(state_tensor)
        action_tensor = distributions.Categorical(prob_tensor).sample()
        action = action_tensor.numpy()[0]
        if self.mode == 'train':
            self.trajectory += [observation, reward, terminated, action]
        return action

    def close(self):
        if self.mode == 'train':
            self.learn()

    def learn(self):
        state_tensor = torch.as_tensor(self.trajectory[0::4], dtype=torch.float)
        action_tensor = torch.as_tensor(self.trajectory[3::4], dtype=torch.long)
        return_tensor = torch.as_tensor(sum(self.trajectory[1::4]), dtype=torch.float)
        all_pi_tensor = self.policy_net(state_tensor)
        pi_tensor = torch.gather(all_pi_tensor, 1, action_tensor.unsqueeze(1)).squeeze(1)
        log_pi_tensor = torch.log(torch.clamp(pi_tensor, 1e-6, 1.))
        loss_tensor = -(return_tensor * log_pi_tensor).mean()
        self.optimizer.zero_grad()
        loss_tensor.backward()
        self.optimizer.step()


agent = VPGAgent(env)

这样我们就实现了智能体。接下来，我们进行训练和测试。为了完整性，在此附上训练和测试的代码。训练的代码不断进行回合，直到最新的几个回合总奖励的平均值超过某个阈值。测试的代码则是交互100个回合求平均。

代码 智能体和环境交互多个回合以训练智能体

import itertools
import numpy as np

episode_rewards = []
for episode in itertools.count():
    episode_reward, elapsed_steps = play_episode(env, agent, mode='train')
    episode_rewards.append(episode_reward)
    logging.info('训练回合 %d: 奖励 = %.2f, 步数 = %d',
            episode, episode_reward, elapsed_steps)
    if np.mean(episode_rewards[-20:]) > env.spec.reward_threshold:
        break
plt.plot(episode_rewards)

代码 智能体与环境交互100回合来测试智能体性能

episode_rewards = []
for episode in range(100):
    episode_reward, elapsed_steps = play_episode(env, agent)
    episode_rewards.append(episode_reward)
    logging.info('测试回合%d：奖励 = %.2f，步数 = %d',
            episode, episode_reward, elapsed_steps)
logging.info('平均回合奖励 = %.2f ± %.2f',
        np.mean(episode_rewards), np.std(episode_rewards))

完整的代码和运行结果参见：

PyTorch版本：
https://zhiqingxiao.github.io/rl-book/en2023/code/CartPole-v0_VPG_torch.html

TensorFlow版本：
https://zhiqingxiao.github.io/rl-book/en2023/code/CartPole-v0_VPG_tf.html

通过这篇文章，我们了解时间循环中可能的几种设定，并了解了在平行宇宙设定下可以使用强化学习来改进决策。最后，我们还通过一个编程小例子了解策略梯度算法。

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