一.简介
DP（动态规划）背包问题是一个经典的组合优化问题，通常用来解决资源分配的问题，如货物装载、投资组合优化等。问题的核心思想是在有限的资源约束下，选择一组物品以最大化某种价值指标，通常是总价值或总利润。
二.闫氏DP分析法
三.01背包
（1）概念
每个物品只有一个，要么选，要么不选
（2）状态转移方程
f[i][j] = max(f[i-1][j] , f[i-1][j-v]+w)
（3）经典例题
P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
（4)代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int f[N][N];
int w[N],c[N];
int bag,n;
int main(){
scanf("%d%d",&bag,&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=bag;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=w[i]){
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
}
}
}
printf("%d",f[n][bag]);
return 0;
}（5）滚动数组优化
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int f[N];
int n,m;
int main()
{
scanf("%d%d", &m, &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int w,c;
scanf("%d%d", &w, &c);
for(int j = m; j >=w ; j -- )
{
f[j] = max(f[j], f[j-w] + c);
}
}
printf("%d", f[m]);
return 0;
}四.完全背包
（1）概念
每个物品有无限个
（2）例题
1023. 买书 - AcWing题库
（3）闫氏DP分析法
（4）状态转移方程推导
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - v * 1] + f[i - 1][j - v * 2] + ...... + f[i -1][j - v * k];
f[i][j - v] = f[i - 1][j - v * 1] + f[i - 1][j - v * 2] + ...... + f[i - 1][j - v * k];
所以推出：f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v];
再使用滚动数组简化，就得出结论，其实就是01背包，内循环从大到小变成了从小到大！
（5）参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int f[N];
int n;
int a[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int main(){
scanf("%d", &n);
f[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 4; i ++ ){
for(int j = a[i]; j <= n; j ++ ){
f[j] += f[j - a[i]];
}
}
printf("%d", f[n]);
return 0;
}五.多重背包
（1）概念
物品有一定的数量
（2）实现方式
1.朴素版（易） 2.二进制优化版（中） 3.单调队列优化版（难）
（3）经典例题
1019. 庆功会 - AcWing题库
（3）朴素版
#include<bits/stdc++.h>
#define N 6010
using namespace std;
int f[N];
int n, m;
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m); //n个物品，m容量
for(int i = 1;i <= n; i ++ ){
int v, w, s; //容量，价值，数量
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
for(int j = m; j >= v; j -- ){ //枚举容量
for(int k = 1;k <= s && k * v <= j; k ++ ){ //再枚举数量
f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + w * k);
}
}
}
printf("%d", f[m]);
return 0;
}（4）二进制优化版
#include<bits/stdc++.h>
#define N 6010
using namespace std;
int f[N];
int n,m;
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n ; i ++ ){
int v, w, s;
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
for(int k = 1; k <= s; k *= 2) //二进制分解
{
for(int j = m; j >= k * v; j --)
f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
s -= k;
}
if(s) //余下的
{
for(int j = m; j >= s * v; j --)
f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
}
}
printf("%d", f[m]);
return 0;
}六.分组背包
（1）概念
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
和多重背包十分相似，也简单。难得写了，copy一下，哈哈。
七.混合背包
（1）概念
就是把完全背包，多重背包，01背包混合起来，分类讨论即可，代码很好看懂。
（2）例题
7. 混合背包问题 - AcWing题库
（3）参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int f[N];
int n,m;
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
int v, w, s;
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
if(s == 0)
{
for(int j = v; j <= m; j ++ )
f[j] = max(f[j], f[j - v]);
}else
{
if(s == -1) s = 1;
for(int k = 1; k <= s; k *= 2)
{
for(int j = m; j >= k * v; j --)
f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
s -= k;
}
if(s)
{
for(int j = m; j >= s * v; j --)
f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
}
}
}
printf("%d", f[m]);
return 0;
}八.有依赖的背包
（1）例题
10. 有依赖的背包问题 - AcWing题库
（2）参考代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int f[110][110];//f[x][v]表达选择以x为子树的物品，在容量不超过v时所获得的最大价值
vector<int> g[110];
int v[110],w[110];
int n,m,root;
int dfs(int x)
{
for(int i=v[x];i<=m;i++) f[x][i]=w[x];//点x必须选，所以初始化f[x][v[x] ~ m]= w[x]
for(int i=0;i<g[x].size();i++)
{
int y=g[x][i];
dfs(y);
for(int j=m;j>=v[x];j--)//j的范围为v[x]~m, 小于v[x]无法选择以x为子树的物品
{
for(int k=0;k<=j-v[x];k++)//分给子树y的空间不能大于j-v[x],不然都无法选根物品x
{
f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
}
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int fa;
cin>>v[i]>>w[i]>>fa;
if(fa==-1)
root=i;
else
g[fa].push_back(i);
}
dfs(root);
cout<<f[root][m];
return 0;
}
九.二维费用背包
（1）简介
其实就是多了一维，和一维费用没啥区别
二维背包可以结合上述所有背包！
（2）例题
8. 二维费用的背包问题 - AcWing题库
（3）参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1005
using namespace std;
int f[maxn][maxn];
int n,V,M;
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&V,&M);
for(int i=1;i<=n;i++){
int v,m,w;
scanf("%d%d%d",&v,&m,&w);
//就是这里多了一维，多了一个循环，很好理解
for(int j=V;j>=v;j--){
for(int k=M;k>=m;k--){
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-m]+w);
}
}
}
printf("%d",f[V][M]);
return 0;
}十.总结
1.只有完全背包是正序遍历的，其他背包都是倒序遍历！
2.背包模型显而易见都是题目中给有一定的约束，如：有个多大容积的背包，有多少钱，等等。然后就是有几种方案，又给出相其对应的代价和贡献，最后求MAX or Count。
3.DP核心就在于熟练掌握闫氏DP分析法和题刷多了，积累了足够多的状态转移方程。
4.其实背包问题并不难，待到题刷够了，一切就迎刃而解了！加油！！！
