戴维南定理（Thevenin’s Theorem）

在本文中，我们将介绍一种强大的方法，可以通过一些转换步骤将复杂电路简化为基本电路，这种方法通常称为戴维南定理（Thevenin’s Theorem）。

德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹 (Hermann von Helmholtz) 在 1853 年首次证明了该定理，但历史保留了法国工程师莱昂·戴维宁 (Leon Thevenin) 的名字，他在 1883 年不知道亥姆霍兹的工作的情况下，提出了一种更优雅的方法来证明该定理 。

戴维南定理证实，任何线性电路都等效于与等效电阻串联的理想电压源。

1、概述与定义

戴维宁定理只能应用于线性电路（LEC）。 LEC的内部结构由互连的理想源和电阻组成。 必须排除诸如电容器和电感器之类的电抗元件，因为它们的电压/电流特性不是由线性公式描述的。

理想电压源由发电机组成，无论电路中流动的电流如何，该发电机都能提供恒定的电压值。 这意味着相同的理想电源将始终为连接在其端子上的任何电路提供相同的电压 $V_s$。 该特性确保理想电压源的电压/电流特性是恒定的，因此是线性的。

图1：理想电压源及其电压/电流特性的表示

理想电流源也可以在线性电路中找到，并且由发电机组成，无论其端子上的电压如何，都可以提供恒定的电流值。 下面的图 2 给出了理想电流源及其电压/电流特性的表示：

图2：理想电流源及其电压/电流特性的表示

等效电阻器 $R_{eq}$只是一个概念，表示一组互连电阻器（$R_1、R_2...$）与单个组件的关联。 电阻器的关联由两个规则决定：

• 如果电阻器共享相同的电流（串联），则等效电阻为电阻器之和。
• 如果电阻器共享相同的电压（并联），则等效电阻的倒数是电阻器倒数之和。

图3：等效电阻关联规则

图4：戴维宁变换的图示

从戴维南变换获得的更简单的电路称为戴维南模型。 等效源和阻力用下标 Th 标记，作为定理名称的参考。

在下一节中，我们将给出抽象方法，以便从任何线性电路中确定该模型。

2、戴维南模型确定

本节的目标是介绍戴维宁参数 $V_{Th}$ 和 $R_{Th}$ 是如何确定的。

戴维南电压$VTh$是负载断开时线性电路端点之间的电压，也称为开路电压。

类似地，戴维南电阻 $R_{Th}$ 是当负载断开并且电路中所有源都被禁用、电压源被短路取代、电流源被开路取代时电路端点处的电阻。

因此，我们建议遵循一系列步骤来确定任何线性电路戴维宁模型：

• 1）移除线性电路端点上的负载
• 2）计算开路电压
• 3）更换所有短路的电压源和开路的电流源
• 4）计算等效电阻
• 5）重新连接负载并借助$V_{Th}$ 和$R_{Th}$ 的知识绘制戴维宁模型

在下一节中，我们通过确定一些架构复杂性增加的 线性电路示例的戴维宁模型来说明该方法。

3、一些线性电路的戴维南模型

3.1 单电压源

对于第一个示例，我们考虑仅由一个电压源和两个电阻并联配置组成的基本线性电路：

图5：线性电路单电压源

为了确定戴维宁模型，首先，我们继续执行上一节中解释的步骤 1 和 2。 当从电路中断开负载 $Z$ 时，我们通过应用分压器方法计算线性电路端点处的电压，即电阻器$R_2$两端的电压：

将参数替换为参数值后，我们得到$V_{Th}=2.5V$。

我们现在考虑用电线代替电压源的电路。 等效戴维宁电阻是电阻器 $R_1$ 和 $R_2$ 的并联：

数值应用得出 $R_{Th}=500\Omega$。

因此，图 5 所示的电路可以通过图 6 所示的等效戴维南模型进行简化：

图6：单电压源线性电路的戴维宁模型

现在可以更轻松、更快速地计算任何负载$Z$ 上的电压和电流。 例如，如果 $Z=100\Omega$，我们可以再次使用分压器公式得出 $V_Z=0.4V$。通过对电阻 $Z$ 应用欧姆定律即可获得电流：$

$I=V_Z/Z=4mA$。

3.2 单电流源

对于第二个示例，我们考虑与图 5 类似的电路，但将电压源替换为理想电流源并重新排列电阻器：

图7：单电流源线性电路

首先，我们将负载$Z$从电路上断开以确定$V_{Th}$：

当在红色符号突出显示的环路中应用基尔霍夫电压定律时，我们发现 $V_{Th}=V_2-V_1$。 然而，由于电路开路，因此在 R1 上观察不到电流，因此 $V_{Th}=V_2$。 因此流过 R2 的电流等于电流源，我们最终将欧姆定律应用到 $R_2$ 上，得到 $V_{Th}=100\times 2=200V$。

戴维南电阻$R_{Th}$是用开路代替电流源得到的，等效电阻由$R_1$和$R_2$的串联决定：$R_{Th}=R_1+R_2=150\Omega$。

下面的图 8 说明了图 7 中电路的戴维南模型：

图8：单电流源线性电路的戴维宁模型

3.3 多电流/电压源

对于最后一个例子，我们提出了一个更复杂的电路，其中包括电流源和电压源：

图9：多源线性电路

我们断开负载以确定电压 $V_{Th}$。 由于电路开路，$i_4=0$ 自动出现。 基尔霍夫电流定律确认 $I=i_1+i_2+i_3$，此外，由于基尔霍夫电压定律，我们可以断言：

• $i_1=i_2+V_1/R$
• $i_1=i_3-V_2/R$

重新排列这三个方程后，我们可以分离出 $i_1=(I+V_1/R-V_2/R)/3$。 戴维南电压简单地由 R×i1 给出，因此，$V_{Th}=(R_I+V_1-V_2)/3$。

我们用开路代替电流源并缩短电压源以确定 $R_{Th}$：

等效电阻由 3 个电阻与 R 串联并联给出，从而得出 $R_{Th}=R+R/3=4R/3$。

图 9 的戴维宁模型最终由下式给出：

图9：多源线性电路的戴维宁模型

4、结论

• “任何线性电路都相当于一个与等效电阻串联的理想电压源。” 这句话被称为戴维宁定理，是本文的重点。
• 在第一部分中，我们介绍戴维宁定理定义相关术语，它们给出了可以应用该定理的框架。 线性电路 (LEC) 是理想源和电阻器的互连。 理想源进一步定义为具有完全平坦的电压/电流特性的源。 等效电阻器只是一个概念，它允许我们将一组互连的电阻器重新组合成单个组件。
• 在简短的第二部分中，我们抽象地介绍了如何通过遵循一系列步骤来确定任何 LEC 的戴维宁模型。
• 第三部分通过实际例子说明如何将 LEC 转换为其等效的戴维南模型。 首先，我们阐明如何处理包含电压源或电流源的电路。 最后，我们演示如何使用包含源和更多电阻的更复杂的 LEC 执行转换。
• 从最后一个例子可以看出，戴维宁模型是一种强大的工具，可以将复杂的线性电路转换为仅包含一个源和一个电阻器的基本电路。