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马尔可夫过程是一组具有马尔可夫性质的随机变量序列$S_1,S_2,\cdots ,S_t$，其中下一个时刻的状态$S_{t+1}$只取决于当前状态$S_t$ 。我们设状态的历史为 h t = { S 1 , S 2 , ⋯   , S t } h_t=\{S_1, S_2, \cdots, S_t\} ht​={S1​,S2​,⋯,St​}（$h_t$包含了之前的所有状态），则马尔可夫过程满足条件：
$$p(S_{t+1}|S_t)=p(S_{t+1}|S_1,S_2,\cdots ,S_t)=p(S_{t+1}|h_t)$$

从当前$S_t$ 转移到$S_{t+1}$ ，它是直接就等于它之前所有的状态转移到 $S_{t+1}$ 。

离散时间的马尔可夫过程也称为马尔可夫链（Markov Chain）。马尔可夫链是最简单的马尔可夫过程，其状态是有限的。例如，下图里面有4个状态，这4个状态在 $s_1,s_2,s_3,s_4$之间互相转移。比如从$s_1$开始，$s_1$有0.1的概率继续存留在$s_1$状态，有0.2的概率转移到$s_2$，有0.7的概率转移到$s_4$。如果$s_4$是我们的当前状态，它有0.3的概率转移到$s_2$，有0.2的概率转移到$s_3$，有0.5的概率留在当前状态。

我们通常用元组$(S,P)$描述一个马尔可夫过程，其中是$S$有限数量的状态集合，$P$是状态转移矩阵（State Transition Matrix）。假设一共有$n$个状态，此时。状态转移矩阵定义了所有状态对之间的转移概率，即：
$$P=\left[\begin{array}{ccc}p(s_1|s_1)& \cdots & p(s_n|s_1)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ p(s_1|s_n)& \cdots & p(s_n|s_n)\end{array}\right]$$

矩阵$P$中第$i$行第$j$列元素$p(s_i|s_j)=p(S_{t+1}=s_j|S_t=s_j)$表示从状态$s_i$转移到状态$s_j$的概率，我们称$P(s^{\prime }|s)$为状态转移函数。从某个状态出发，到达其他状态的概率和必须为1，即状态转移矩阵的每一行的和为1。状态转移矩阵类似于条件概率（Conditional Probability），它表示当我们知道当前我们在状态$s_t$时，到达下面所有状态的概率。所以它的每一行描述的是从一个节点到达所有其他节点的概率。

给定一个马尔可夫过程，我们就可以从某个状态出发，根据它的状态转移矩阵生成一个状态序列（Episode），这个步骤也被叫做采样（sampling），生成这些序列的概率和状态转移矩阵有关。

参考文献：
[1] 张伟楠, 沈键, 俞勇. 动手学强化学习[M]. 人民邮电出版社, 2022.
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[3] Maxim Lapan. 深度强化学习实践（原书第2版）[M]. 北京华章图文信息有限公司, 2021
[4] 王琦, 杨毅远, 江季. Easy RL：强化学习教程 [M]. 人民邮电出版社, 2022