5.2.1 二叉树

  二叉树是一种常见的树状数据结构，它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集，被称为空二叉树，要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成，分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

二叉树性质

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有$2^i$个，其中$i\ge 0$。

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有$2^{k+1}-1$个结点，其中$k\ge 0$。

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为$n_0$，度数为2的结点个数为$n_2$，则有$n_0=n_2+1$。

• 详细证明过程见前文：【数据结构】树与二叉树（三）：二叉树的定义、特点、性质及相关证明

满二叉树、完全二叉树定义、特点及相关证明

• 详细证明过程见前文：【数据结构】树与二叉树（四）：满二叉树、完全二叉树及其性质

5.2.2 二叉树顺序存储

  二叉树的顺序存储是指将二叉树中所有结点按层次顺序存放在一块地址连续的存储空间中，详见：
【数据结构】树与二叉树（五）：二叉树的顺序存储（初始化，插入结点，获取父节点、左右子节点等）

5.2.3 二叉树链接存储

  二叉树的链接存储系指二叉树诸结点被随机存放在内存空间中，结点之间的关系用指针说明。在链式存储中，每个二叉树结点都包含三个域：数据域（Data）、左指针域（Left）和右指针域（Right），用于存储结点的信息和指向子结点的指针，详见：
【数据结构】树与二叉树（六）：二叉树的链式存储

5.2.4 二叉树的遍历

• 遍历（Traversal）是对二叉树中所有节点按照一定顺序进行访问的过程。
• 通过遍历，可以访问树中的每个节点，并按照特定的顺序对它们进行处理。
• 对二叉树的一次完整遍历，可给出树中结点的一种线性排序。
  • 在二叉树中，常用的遍历方式有三种：先序遍历、中序遍历和后序遍历。
  • 这三种遍历方式都可以递归地进行，它们的区别在于节点的访问顺序。
    • 在实现遍历算法时，需要考虑递归终止条件和递归调用的顺序。
  • 还可以使用迭代的方式来实现遍历算法，使用栈或队列等数据结构来辅助实现。
• 遍历是二叉树中基础而重要的操作，它为其他许多操作提供了基础，如搜索、插入、删除等。
  

1. 先序遍历

理论

  先序遍历（Preorder Traversal）：根节点的访问顺序在左右子树之前。

• 先访问根节点；
• 然后递归地对左子树进行先序遍历；
• 最后递归地对右子树进行先序遍历。
• a b d e f g c
  

练习

答案见文末~

代码实现

void preOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
    // 递归遍历左子树
    preOrderTraversal(root->left);
    // 递归遍历右子树
    preOrderTraversal(root->right);
}

2. 中序遍历

理论

  中序遍历（Inorder Traversal）：根节点的访问顺序在左右子树之间。

• 先递归地对左子树进行中序遍历，
• 然后访问根节点，
• 最后递归地对右子树进行中序遍历。
• d b f e g a c
  

练习

答案见文末~

代码实现

void inOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 递归遍历左子树
    inOrderTraversal(root->left);
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
    // 递归遍历右子树
    inOrderTraversal(root->right);
}

3. 后序遍历

理论

  后序遍历（Postorder Traversal）：根节点的访问顺序在左右子树之后。

• 先递归地对左子树进行后序遍历；
• 然后递归地对右子树进行后序遍历；
• 最后访问根节点。
• d f g e b c a
  

练习

答案见文末~

代码实现

void postOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 递归遍历左子树
    postOrderTraversal(root->left);
    // 递归遍历右子树
    postOrderTraversal(root->right);
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
}

4. 代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 二叉树结点的定义
struct Node {
    char data;
    struct Node* left;
    struct Node* right;
};

// 创建新结点
struct Node* createNode(char data) {
    struct Node* newNode = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
    if (newNode == NULL) {
        printf("Memory allocation failed!\n");
        exit(1);
    }
    newNode->data = data;
    newNode->left = NULL;
    newNode->right = NULL;
    return newNode;
}
// 先序遍历
void preOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
    // 递归遍历左子树
    preOrderTraversal(root->left);
    // 递归遍历右子树
    preOrderTraversal(root->right);
}

// 中序遍历
void inOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 递归遍历左子树
    inOrderTraversal(root->left);
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
    // 递归遍历右子树
    inOrderTraversal(root->right);
}

// 后序遍历
void postOrderTraversal(struct Node* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    // 递归遍历左子树
    postOrderTraversal(root->left);
    // 递归遍历右子树
    postOrderTraversal(root->right);
    // 访问根节点
    printf("%c ", root->data);
}
int main() {
    // 创建一棵二叉树
    struct Node* root = createNode('a');
    root->left = createNode('b');
    root->right = createNode('c');
    root->left->left = createNode('d');
    root->left->right = createNode('e');
    root->left->right->left = createNode('f');
    root->left->right->right = createNode('g');
    // 递归先序遍历二叉树
    printf("Rre-order traversal: \n");
    preOrderTraversal(root);
    printf("\n");

    // 递归中序遍历二叉树
    printf("In-order traversal: \n");
    inOrderTraversal(root);
    printf("\n");

    // 递归后序遍历二叉树
    printf("Post-order traversal: \n");
    postOrderTraversal(root);
    printf("\n");


    return 0;
}

5. 答案

• 先序遍历
  • t1: a b d e f g c
  • t2: a b d c e f g
• 中序遍历
  • t1: d b f e g a c
  • t2: d b c a f e g
• 后序遍历
  • t1: d f g e b c a
  • t2: d c b f g e a