参考文献：

1. [MP12] Micciancio D, Peikert C. Trapdoors for lattices: Simpler, tighter, faster, smaller[C]//Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2012: 700-718.
2. [OPP14] Ostrovsky R, Paskin-Cherniavsky A, Paskin-Cherniavsky B. Maliciously circuit-private FHE[C]//Annual Cryptology Conference. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2014: 536-553.
3. [BV14] Brakerski Z, Vaikuntanathan V. Lattice-based FHE as secure as PKE[C]//Proceedings of the 5th conference on Innovations in theoretical computer science. 2014: 1-12.
4. [BPMW16] Bourse F, Del Pino R, Minelli M, et al. FHE circuit privacy almost for free[C]//Annual International Cryptology Conference. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2016: 62-89.

GSW for for Branching programs

[BV14] 展示了 GSW 的非对称噪声增长，并利用分支程序的每条语句都依赖新鲜的输入密文，给出了可计算任意 $N{C}^1$ 电路的 Level FHE，噪声比率为 $\alpha =n^{-c},c>0$。然后利用连续的 dimension-modulus reduction procedure，将它降低到了 $\alpha \le 1/{\tilde{O}}_{\kappa }(n^{ϵ}\cdot \sqrt{n\log q})$，最终给出了第一个满足以下归约的全同态加密方案：

• 量子归约到近似因子为 $\tilde{O}(n^{1.5+ϵ})$ 的 GapSVP 问题
• 经典归约到近似因子为 $\tilde{O}(n^{2+ϵ})$ 的 GapSVP 问题

换句话说，自举程序并不会严重降低 FHE 的安全性，因此 FHE 和一般的 PKE 同样安全。其近似因子仅为多项式的（噪声-模数比值是多项式的）。

FHE for NC1

Branching Program 的定义为：

根据 Barrington’s Theorem 可知，“多项式大小 5-PBP 可计算类” 等价于 $N{C}^1$ 类（对数深度的并行电路）。因此我们选取 $W=5$，状态被表示为特征向量 v t ∈ { 0 , 1 } 5 v_t \in \{0,1\}^5 vt​∈{0,1}5，每个 enrty 都是布尔值。我们根据 ${\pi }_{t,0},{\pi }_{t,1}$ 和 $x_{var(t)}$，用 GSW 同态地计算 BP 程序中的状态转移。

同态计算 5-PBP 的算法如下：

为了计算结果的解密正确性，要求噪声的高斯分布参数为：
$$\alpha \le \frac{1}{{\tilde{\Theta }}_{\kappa }\left(4^d\cdot \sqrt{n\log (q)}\right)}$$
恰好 GSW 的解密电路属于 $N{C}^1$ 类。因此附加上循环安全假设，容易构造出 pure FHE，它的噪声比率仅为多项式级别（之前的 BGV/BFV 自举需要指数级的）。

secure as PKE

但是，上述的 $\alpha$ 依然有些大了。现在我们将上述的 FHE 变得更加安全（进一步降低噪声比率）。两个关键技术：

1. 密文随机化（Partial Randomization），

2. 维度-模数约简（Dimension-Modulus Reduction），

[BV14] 设计了一个维度约简程序：设置一个维度-模数的梯子，在最高层 $Level=L$ 上同态计算 BP 程序，然后利用秘钥切换依次降低维度-模数，在最底层 $Level=0$ 执行解密任务。$s_L,p{k}_L$ 用于加密，$s_0$ 用于解密。

那么自举程序为：

1. 设置自举秘钥为最底层私钥的密文，$K_i\leftarrow DimReduced.SecEn{c}_{sk}(BitDecomp(s_0)[i])$
2. 根据最底层的两个密文 $c_0,c_1$，构造增强解密函数 $f_{c_1,c_2}(s)=NAND(De{c}_s(c_0),De{c}_s(c_1))$，将它转化为关于 $BitDecomp(s_0)$ 的 5-PBP 程序
3. 利用维度约简的同态计算过程，执行 $Eval(f_{c_1,c_2},K_i)$

为了解密正确性，我们设置
$$\begin{array}{rl}\alpha (n)& =\frac{1}{{\tilde{\Theta }}_{\kappa }\left(n^{ϵ}\cdot \sqrt{n\log (q)}\right)}\\ q(n)& \ge \tilde{O}\left(\frac{\sqrt{n}}{\alpha (n)}\right)\end{array}$$
它们满足 $\alpha \cdot q\approx \sqrt{n}$，这是存在 LWE 从最坏情况到平均情况归约的最小的 $q$ 取值。

上述 FHE 的安全性归约结果：

Circuit Privacy Almost for Free

[BPMW16] 对 [BV14] 略作修改，给出了第一个 “circuit-private FHE for NC1 circuits under the standard LWE assumption with polynomial modulus-to-noise ratio”。

Circuit Privacy

在 FHE 同态计算过程中，不同的 $f$ 导致了不同的计算电路，于是计算结果中的噪声项 $e$ 的增长规模是依赖于这个函数的。例如 FHE-based MPC 场景：Alice 拥有数据 $m$，Bob 拥有函数 $f$，它们执行 MPC 计算出 $f(m)$，但是 Alice 可以根据收到的 $Enc(f(m))$ 密文推断出 $f$ 的部分信息，这导致上述的 MPC 并不安全。

有几种达到电路隐私的手段：

1. 噪声洪泛（noise flooding）：对于计算结果，添加相对于结果噪声项 $e$ 超多项式大的另一个噪声。但是这要求噪声-模数的比值本身就是超多项式的，困难问题的难度被减弱。
2. 重加密（re-encrypt），
   1. 混淆电路：[OPP14] 给出了一个通用转换框架，使用 garbled circuits 实现普通 FHE 转化为电路隐私的 FHE。但是需要把 FHE 中的代数结构编码为布尔电路，这牺牲了 FHE 的多跳（multi-hop）能力。
   2. 自举程序：主要的问题就是自举代价极高，另外还需要额外的循环安全假设。

电路隐私的定义：

[BPMW16] 利用 Gaussian leftover hash lemma，对 [BV14] 的 GSW for BP 略作修改，给出了特定于 GSW 方案的电路隐私 Level FHE 方案。

Core Randomization Lemma

根据 [MP12]，本原格 $\Lambda (G)$ 及其对偶上的 $f_G^{-1},g_G^{-1}$ 都是及其容易计算的。特别地，因为 gadget 矩阵的 $G$ 的特殊结构，Kalien 原像采样算法极其高效。

[BPMW16] 利用 Generalized leftover hash lemma 等若干引理，推导出了 LWE 样本的随机化引理，

给定一组 LWE 样本 $C=(A,s^{T}A+e)\in {\mathbb{Z}}_q^{n\times m}$，对于任意的 $v\in {\mathbb{Z}}_q^n$，在陪集 $v+{\Lambda }_q^{\perp }(G^T)$ 上按照离散高斯分布采样，得到 $x=G_{rand}^{-1}(v)\in {\mathbb{Z}}^m$，另外再加上随机偏移 $y\in \mathbb{Z}$，那么就有如下两个分布统计不可区分
$$C\cdot G_{rand}^{-1}((0,0,\cdots ,0))+(0,y){\equiv }_{s}C\cdot G_{rand}^{-1}((1,0,\cdots ,0))+(0,y^{\prime })$$
这里 $G_{rand}^{-1}$ 的随机性是必要的，它使得不同的 $v$ 下的分布有相同的中心（same center）。随机偏移 $y$ 也是必要的，它使得不同的 $v$ 下的分布有相同的支撑（same support）。注意这里的 $y$ 是短的，而 noise flooding 则需要选取超多项式大小。

Circuit Private FHE

为了实现电路隐私的 GSW 方案，分为三个步骤，

1. Generating fresh LWE samples：给定一组有界数量的 LWE 样本 $(A,b=s^{T}A+e^T)$，按照参数 $r=\tilde{O}(1)$ 离散高斯采样 $x$，按照参数 $O(r\cdot \Vert e\Vert )$ 离散高斯采样 $y$ 平滑噪声（smoothing noise），那么我们得到了一个新的 LWE 样本 $(Ax,bx+y)$，其中 $Ax$ 统计接近于均匀分布，噪声项 $e^{T}x+y$ 统计接近于参数 $O(r\cdot \Vert e\Vert )$ 的离散高斯分布。对比于 noise flooding 的缺点是，这泄露了 $\Vert e\Vert$ 的规模信息（Alice 有私钥，可以解密出噪声项 $e^{T}x+y$）。
2. Randomizing and Scaling GSW ciphertexts：根据 Core Randomization Lemma，随机数 $x$ 仅仅取自陪集 $v+{\Lambda }_q^{\perp }(G^T)$ 上参数 $r=\tilde{O}(1)$ 的离散高斯分布，就足够使得新样本是统计接近均匀分布组合高斯分布的了。给定一个 GSW 密文 $C=(A,b)+\mu G$，那么 $C\cdot G_{rand}^{-1}(G)+(0,y)$ 就是随机化的密文，加密的消息不变，噪声项略微增大。给定常数 a ∈ { 0 , 1 } a \in \{0,1\} a∈{0,1}（就是 Bob 的函数），我们采样 $x=G_{rand}^{-1}(a\cdot G)$，这里的 $aG$ 其实就是 $a$ 的无噪声密文。那么 $C\cdot G_{rand}^{-1}(a\cdot G)+(0,y)$ 就是 $a\cdot \mu$ 的随机密文，并且密文分布独立于 $a$ 的值。
3. Circuit-private homomorphic evaluation：使用 [BV14] 类似的 GSW 同态计算 BP 程序，只不过把它的 $C\cdot G_{det}^{-1}(V)$ 转变为了 $C\cdot C_{rand}^{-1}(V)+(0,y)$，就可以实现电路隐私，

修改 [BV14] 的 BP 同态运算为如下格式：

其中 $C$ 是输入的密文，$V$ 是中间状态的密文。形如 $C_i\cdot G^{-1}(V_j)$ 的同态乘法格式，不仅仅导致了不平衡噪声增长，而且还隐藏了到底是哪个 $V_j$ 被使用，这就隐藏了 BP 程序。

不过，因为 $V_j$ 的噪声项依赖于 $C_i$ 的噪声项，因此最终计算结果会泄露各个 $C_i$ 被使用的次数。[BPMW16] 采取 Padding 方式，如果 $C_i$ 被调用了 ${\tau }_i$ 次，那么就对最终状态执行 $L-{\tau }_i$ 次关于 $C_i$ 的单位置换，使得全部输入的噪声项都是被累计 $L$ 次。