代码随想录第四十五天 | 动态规划完全背包的应用：爬楼梯改编；求最小个数，循环顺序无影响（322 零钱兑换，279 完全平方数）

1、爬楼梯改编

之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶，问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了
和昨天的题目动态规划：leetcode 377：组合总和 Ⅳ 基本就是一道题了

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法

2、确定递推公式
在 leetcode 494：目标和、 leetcode 518：零钱兑换II 、leetcode 377：组合总和 Ⅳ 中讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]，那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3、dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了
下标非0的dp[i] 初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4、确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样，所以需将target放在外循环，将nums放在内循环
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历

5、举例来推导dp数组
和 leetcode 377：组合总和 Ⅳ 几乎是一样的

代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

注意 i, j 都是从1 开始

时间复杂度: O(nm)
空间复杂度: O(n)

2、求最小个数，循环顺序无影响

2.1 leetcode 322：零钱兑换

第一遍代码，也不知道应该用排列还是组合
因为递归公式里面，求更小值，初值取INT_MAX，就要避免在INT_MAX上再加数

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);//每种金额的最少硬币个数
        //求排列数，感觉组合数也行
        dp[0] = 0;//凑成他自己面额的最少要一个硬币
        for(int i = 0; i <= amount; i++) {
            for(int j = 0; j < coins.size(); j++) {
                if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {
                    //避免在INT_MAX上加一
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount] == INT_MAX) {
            return -1;
        }
        return dp[amount];
    }
};

代码随想录思路
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2、确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i] 即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]），所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3、dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖，所以下标非0的元素都是应该是最大值

代码如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

4、确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数，所以本题并不强调集合是组合还是排列

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包 或者 外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的，本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

5、举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

代码随想录C++ 代码如下：
采用coins放在外循环，target在内循环的方式
遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
空间复杂度: O(amount)

对于遍历方式为遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，见第一遍代码

2.2 leetcode 279：完全平方数

第一遍代码：
记录和为 n 的完全平方数的最少数量，求排列还是组合无所谓
dp[0] = 0;自己就是完全平方数的肯定dp是1（dp[i - j * j] == 0 时，dp[0] + 1）

对于内层循环里的 <= n / 2
这里考虑到其实每个数的分解的加数最大整数自乘的那个整数最大就是n / 2
但是因为n / 2是向下取整，所以当数为1的时候，<= 1/2直接把1也排除了，所以应该是n / 2 + 1

像代码随想录那样让 i * i <= n就不用整那么复杂了

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        //记录和为 n 的完全平方数的最少数量，求排列还是组合无所谓
        dp[0] = 0;//自己就是完全平方数的 肯定dp是1
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= n / 2 + 1; j++) {
        /*
        这里考虑到其实每个数的分解的加数 最大整数自乘的 那个整数 最大就是n / 2
        但是因为n / 2是向下取整，所以当数为1的时候，<= 1/2直接把1也排除了，所以应该是n / 2 + 1
        */
                if(i - j * j >= 0) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

代码随想录思路：
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品
就是个完全背包

动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2、确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3、dp数组如何初始化
dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式

非0下标的dp[j] 应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

4、确定遍历顺序
这是完全背包，如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

在leetcode 322：零钱兑换中就探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的

5、举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：

第一遍代码是外层遍历背包，内层遍历物品；给出代码随想录给出的先遍历物品，再遍历背包的代码：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};