24.5 Hash Indices

24.5.1 Static Hashing

这一部分就不介绍了，在14.5中已经介绍过了。

24.5.2 Dynamic Hashing

主要介绍下动态散列的一种方案，称为可扩展散列。

24.5.2.1 Data Structure

可扩展散列的基本数据结构如下图所示，主要包括两部分：

• bucket address table：桶地址表，类似目录，用于存放桶地址
• bucket：一个一个的桶，用于存放记录

可以注意下图中，桶地址表上方与每个桶的上方都标有一个整数，其中，桶地址表上方的整数$i$称为全局位深度（grobal depth），每个桶$j$上方的整数$i_j$称为局部位深度（local depth）。
关于全局位深度$i$和桶$j$的局部位深度$i_j$有以下性质：

• 桶地址表中，指向桶$j$的表项数为$2^{i-i_j}$个
• 存放于桶$j$中的记录，他们搜索码的哈希值二进制低$i_j$位都一样

这个结构是如何建立出来的、两个位深度分别有什么用处、以及为什么会有以上性质，我们先不管，下一节中会细说，先了解基本概念即可。

24.5.2.2 Queries and Updates

本节主要介绍可扩展散列的记录查询与插入过程，删除过程暂时还没了解，后续补上。
首先是查询过程，当查询包含某个搜索码Key的记录时，首先使用哈希函数$h$对Key取哈希值$h(Key)$，再取出这个哈希值二进制位中的低$i$位（这里的$i$表示全局位深度），由桶地址表得到对应的桶地址，从而查询到对应的记录。
一个具体的例子如下图所示，假设某条记录的搜索码哈希值为0010，由于全局位深度为2，则对应的表项为00，获取到Bucket 1的地址，从而进入bucket 1查找到对应记录。可以看到，Bucket 1中记录的搜索码对应哈希值的低2位都一致。

查询过程相对比较简单，接下来我们来看相对复杂的插入记录过程。当插入一条新的记录时，首先同查询过程一致，根据搜索码找到对应的桶$j$，然后分为以下情况：

• 若桶$j$中仍有空间，则直接将记录插入该桶
• 若桶$j$已满，则需要分裂这个桶并将桶中现有记录加上新纪录重新分配，分为以下两种情况：
  • 如果$i=i_j$，根据上一节的性质可以知道，桶地址表中只有一个表项指向桶$j$（让我们假设这个表项为$T{E}_j$），此时需要增加桶地址表的规模，使得桶地址表可以容纳由于桶$j$分裂产生的两个桶指针。具体的做法是，将$i$加1，这将使得桶地址表的容量翻倍，原来的每个表项都产生出自己的一个副本，新的表项包含和原始表项一样的指针（我们令$T{E}_j$的副本表项为$T{E}_k$，则$T{E}_k$也指向$j$）。然后，系统会分配一个新的桶$k$，让新表项副本$T{E}_k$指向$k$，并将$i_j$和$i_k$都置为$i$。最后，将$j$中的所有记录与新记录重新分配，根据记录搜索码哈希值二进制的后$i$位确定放入桶$j$中还是放入桶$k$中。一个具体的例子如下图所示，当在之前的图中插入一条搜索码哈希值二进制为1000的记录时，Bucket 1将溢出，故将Global Depth增大1，增加一个新的桶Bucket 4，并将记录根据二进制后三位重新散列。
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  • 如果$i>i_j$，那么根据上一节中的性质，桶地址表中不止一个表项指向桶$j$，会有$2^{i-i_j}$个表项指向桶$j$，此时不需要增加桶地址表的容量，直接分裂桶$j$即可。具体做法是，系统分配一个新的桶$k$，将指向$j$的后$2^{i-i_j-1}$个表项修改为指向$k$，并设置$i_j$与$i_k$为$i_j+1$，最后重新散列$j$中的记录与新纪录。一个具体的例子如下图所示，当向Bucket 2插入两个记录之后，再插入一个记录，这时Bucket 2溢出；由于Bucket 2的Local Depth小于Global Depth，于是不需增大Global Depth，直接将表项$110$指向的桶修改为新增桶Bucket 5即可，然后重新散列Bucket 2与新纪录。
    
    

以上就是基本的查询操作与插入操作的过程，但插入操作并不是很完善。考虑这样一种情况，假设每个桶的容量为$2$，当我们存在3条记录均包含相同的搜索码时，就会造成桶溢出，此时使用溢出桶方式来解决，即串链表形式，在14.5中已经叙述过，这里就不再赘述了。