串联RLC电路分析

电阻器 ®、电感器 (L) 和电容器 © 是电子器件中的三个基本无源元件。 它们的属性和行为已在交流电阻、交流电感和交流电容文章中详细介绍。

在本文中，我们将重点讨论这三个组件的串联组合（称为串联 RLC 电路）。 首先，演示部分总结了三个组成组件的交流行为，并简要介绍了 RLC 电路。

在第二部分中，我们讨论该电路在直流电压阶跃下的电气行为，并强调为什么这种特定响应很重要。

接下来，我们在第三部分中通过计算和绘制 RLC 电路的传递函数来重点关注 RLC 电路的交流响应。

最后，我们通过在彼此之间切换组件来提出 RLC 电路的两种替代方案，我们看到交流响应变得完全不同。

1、概述

下面的图 1 给出了 RLC 电路的表示：

图1：RLC串联电路示意图

该电阻器是纯电阻元件，其两端的电压和电流之间不存在相移。 其阻抗 ($Z_R$) 在直流和交流状态下保持相同，等于 $R$（以 $\Omega$ 为单位）。

电感器是纯电抗元件，相移为 +90° 或 $+\pi /2$ rad。 其阻抗由 $Z_L=j\omega L$ 给出，其中 $\omega$ 是交流情况下电压/电流的角脉动，L 是电感（以 $H$ 为单位）。 在直流状态下，电感器表现为两个端子之间的短路，而在交流状态下，当阻抗随频率增加时，电感器会变成开路。

电感器通常被视为抵抗电流变化的组件。

电容器也是纯电抗元件，但其相移为-90°或$-\pi /2$ rad。 其阻抗由 $Z_C=-j/C\omega$ 给出，其中 $C$ 为电容（以 $F$ 为单位），因此当频率增加时，它在直流状态下表现为开路，在交流状态下表现为短路。

电容器通常被视为抵抗电压变化的组件。

在图 1 中，这三个组件串联互连。 该电路由直流或交流电源供电，输出是电容器两端的电压。 电路的总阻抗是前面所述的独立阻抗的总和：

在下一节中，我们将介绍该电路对电压阶跃的响应，也称为瞬态响应。

2、瞬态响应

在本节中，我们将重点关注图 1 中所示电路在应用 Heaviside 步骤 $H(t)$ 时的行为：

图2：海维赛德(Heaviside)函数

Heaviside 步骤的特征是，$t<0$ 时等于 0，$t>0$ 时等于 $V_{in}$。 这两种状态之间的转换类似于脉冲，因为当 $t=0$ 时导数趋向于 $+\infty$。

通过对电路进行网格分析，我们可以写出 $V_{in}=R\times I+L\times dI/dt+V_{out}$。 此外，我们知道电流可以改写为$I=C\times d{V}_{out}/dt$，从而得到以下二阶微分方程：

等式1：串联RLC电路的二阶微分方程

该方程的解是永久响应（时间恒定）和瞬态响应 $V_{out}$,$tr$（时间变化）之和。 永久响应很容易且明显地找到，解 $V_{out}=V_{in}$ 确实是等式1 的永久解。

瞬态响应的确定很复杂，涉及许多步骤，本文将不详细介绍。 我们承认它的表达式可以采用三种不同的形式，并且取决于称为电路品质因数的 $Q=(1/R)\sqrt{L/C}$ 的值。 另一个重要参数是${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$，它是电路的基本脉动。

当 $Q>1/2$ 时，该状态被称为伪周期或欠阻尼响应，瞬态响应可以写成 $V_{out,tr}=A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t+\varphi )$ 的形式。 常数 $A$、$\alpha$ 和 $\varphi$ 可以通过考虑电路的初始条件（电容器是否充电……）来找到。 脉动$\omega$被称为伪脉动并且取决于基本脉动${\omega }_0$。

最后，$Q=1/2$ 时的最后一种情况，对应于临界状态或临界阻尼响应。 在这种情况下，$V_{out,tr}=(A+Bt)e^{-{\omega }_{0}t}$。

需要记住的重要一点是，这些不同的解决方案决定了电压 $V_{out}$ 如何表现，并在应用 Heaviside 步骤时趋向于其永久值 $V_{in}$：

图3：瞬态响应不同状态的曲线

我们可以通过开始说随着时间的增加每条曲线都趋于 0 来讨论这个数字。 这是有道理的，因为我们知道 $V_{out}=V_{in}+V_{out,tr}$ 且 $V_{out}(t\to +\infty )=V_{in}$，因此，$Vout,tr\to 0$。

然而，不同的可能瞬态响应在相同的速度和行为下不会趋于 0。 临界状态是最快趋于 0 的状态，而非周期状态最慢。 伪周期状态呈现振幅呈指数下降的振荡。

对于未知的 RLC 电路，识别瞬态响应并将其与最佳可能曲线相匹配可以为我们提供电路的重要属性，例如 ${\omega }_0$ 和 $Q$。

3、AC响应

在本节中，我们考虑图 1 中所示的相同电路，现在提供交流电源。 利用复数表示中 $dX/dt=j\omega X$ 的性质，其中 $\omega$ 是源的角脉动，我们可以将方程 1 重写为以下形式：

等式2：串联RLC电路的复二阶微分方程

然后我们可以表达 $V_{out}/V_{in}$ 的比率，它是串联 RLC 电路的传递函数 $T$：

等式3:串联RLC电路的传递函数

知道 $Q=(1/R)\sqrt{L/C}$、${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$并考虑参数 $x=\omega /{\omega }_0$（称为减少脉动），我们可以重新排列等式3，以写出规范形式 传递函数简化并使得表达式更加紧凑：

等式4：RLC电路传递函数的规范形式

绘制传递函数的范数以获得作为参数x的函数的电路增益是很有趣的。 本例中取值 $R=10\Omega$ 和 $20\Omega$、$L=0.2H$ 和 $C=100\mu F$：

图4：串联RLC电路的增益

我们可以注意到，图 1 中的串联 RLC 电路在交流状态下充当二阶低通滤波器，因为它会降低高于 ${\omega }_0$（通常称为电路的谐振频率）的脉动的输出信号。

二阶滤波器具有稍微放大${\omega }_0$ 附近频率的信号的特性，并在截止频率之后呈现 -40dB/dec 的下降，而不是像一阶滤波器那样仅 -20dB/dec。

图 4 中突出显示了 $Q$ 值（取决于 $R$）对曲线形状的影响。 谐振频率附近的峰值确实由其带宽 $△\omega ={\omega }_0/Q$ 来表征。

在此示例中，${\omega }_0=223$ rad/s 且 $Q=4.5$ 或 2.25，这为橙色曲线提供了较窄的带宽 $△\omega =50$rad/s，为蓝色曲线提供了 100rad/s 的较宽带宽。 因此，我们可以注意到，品质因数决定了谐振是窄（大$Q$）还是宽（小$Q$）。

如上一节所述，用最佳曲线拟合未知电路的传递函数使我们能够了解电路的属性，从而确定其组成元件的值。

4、RCL和CLR配置

基本元件R、L和C的其他组合可以提供不同类型的滤波器。 我们之前已经看到，RLC 配置是二阶低通滤波器，但是如果我们在它们之间切换一些组件会怎么样？

图 5 和图 6 展示了两种新配置，分别称为 RCL 和 CLR 电路：

图5：RLC电路图

图6：CLR电路图

尽管这些电路与图 1 所示的原始 RLC 电路之间存在微小变化，但交流响应却有很大不同。

确实可以证明，这两个电路的传递函数由等式 4 和 5 给出：

等式5：RLC电路传递函数

等式6：CLR电路传递函数

这些新滤波器的性质通过绘制具有相同值的传递函数范数来揭示：$R=10\Omega$ 和 $20\Omega$、$L=0.2H$ 和 $C=100\mu F$。

图7：串联RLC和LCR电路的增益

电路 RCL 是二阶高通滤波器，因为它衰减 ${\omega }_0$ 以下的频率。 电路 CLR 是一个带通滤波器，因为它仅放大${\omega }_0$附近的频率。 请注意，与上一节中关于曲线形状作为 $Q$ 的函数的相同评论仍然适用于这两个滤波器。

5、结论

• 串联 RLC 电路只是三个电子元件的串联组合：电阻器、电感器和电容器。 电阻器的阻抗是实数，电感器和电容器的阻抗是纯虚数，电路的总阻抗是这三个阻抗的总和，因此是一个复数。
• 电路的瞬态响应首先在第二部分中定义和介绍。 它包括研究提供海维赛电压阶跃时电路的行为。 通过研究与电路相关的二阶微分方程的可能解，出现了三种可能的情况：
  • 欠阻尼响应，信号缓慢振荡至永久值 $V_{in}$。
  • 信号缓慢增加至永久值的过阻尼响应。
  • 临界阻尼响应是信号以最快的速度增加到永久值的情况。
• 第三部分介绍了电路的交流响应。 当提供交流信号时，微分方程可以写成复数形式，以便找到电路的传递函数。 绘制该函数的范数表明串联 RLC 电路的行为类似于二阶低通滤波器。
• 在最后一节中，我们研究了称为 RCL 和 CLR 的替代配置。 本节展示了通过简单地切换组件就可以用同一电路制作二阶高通滤波器或带通滤波器。