05 线性代数

1. 基础知识补充

向量相关

矩阵相关

简单来说，范数是用来衡量矩阵（张量）大小的值，范数的值有不同的规定。

2. 代码实现

仅记录一些我比较陌生的知识。

张量的克隆

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B

张量的降维

首先定义一个张量x，指定其元素的数据类型为32位的float：

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

接着调用求和函数，因为会对张量中的一些维度进行求和，求和后就相当于是降维了，这里的维度用轴axis来表示，0表示行，1表示列，下面是对行和列同时求和：

A.sum(axis=[0, 1])  # 结果和A.sum()相同

axis = 0按照行，可以理解为把“行”给抹去只剩1行，也就是上下压扁。
axis = 1按照列，可以理解为把“列”给抹去只剩1列，也就是左右压扁。

点积

给定两个向量，它们的点积就是相同位置的元素乘积之和：

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

矩阵-向量积、矩阵-矩阵积

矩阵和向量相乘：

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

矩阵和矩阵相乘：

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

范数

向量的范数表示一个向量有多大，这里的大小不涉及维度，指的是分量的大小。

常用的L2范数表示向量元素平方和的平方根，其实是将向量输入一个求平方和平方根的函数，就输出这个向量对应的L2范数：

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)

这也是唯一一个pytorch中定义的求范数函数，还有一个常用范数叫L1范数，其实就是元素的绝对值之和，它就没有特定的函数来计算了，因为比较好实现：

torch.abs(u).sum()

前两个是对于向量来说的，矩阵的范数一般用的是Frobenius范数，它和L2范数一样，都是求平方和的平方根：

torch.norm(torch.ones((4, 9)))