[动态规划] (七) 路径问题：LCR 166./剑指offer 47. 珠宝的最高价值

LCR 166. 珠宝的最高价值

题目解析

(1) 二维矩阵中存放的是每个珠宝的价值

(2) 从左上角取到右下角

(3) 只能向右或者向下移动

解题思路

状态表示

按照以往的经验：dp[i] [j] 以（i，j）位置为终点，得到的珠宝总价值。

状态转移方程

以状态表示可以得出：

dp(i，j)取决于两个位置的价值：dp(i-1，j)和dp(i， j-1)。

所以dp(i，j)就等于它们两个的最大值，再加上(i，j)位置对应的价值。

所以

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + (i，j)位置对应的价值

初始化和填表顺序

• 初始化

初始化时，只需要处理一下第一行和第一列的边界情况即可。

所以我们多开辟一列和一行（蓝色格子），又由于 dp(i，j)就等于它们两个的最大值，再加上(i，j)位置对应的价值。所以我们只需要将多开辟的初始化为0即可。我们在创建dp数组时，扩容后正好是0。

• 填表顺序

一列一列填表即可。

返回值

多开辟一列和一行，返回dp[m] [n]即可。

看到这里，大家可以先尝试实现代码，再接下来看下面的内容。

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代码实现

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        //创建dp数组
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        //初始化
        // dp[1][1] = frame[0][0];
        //填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + frame[i-1][j-1];
        //返回值
        return dp[m][n];
    }
};

总结

细节：多开辟一列一行，相当于我们将下标向右下方移动。所以最后在找原数组中对应位置，行和列下标应该都进行减1。如，frame[i-1] [j-1]。