目录

• 临界点critical point
  • 基本介绍
  • 临界点两种情况的区分
    • g和H的举例介绍
    • 根据H区分Saddle Point和local minima
• 批次Batch
  • batch大小的比较
    • 时间的开销
    • 训练集和测试集的效果
      • 训练集效果
      • 测试集效果
• 动量Momentum
  • 一般的Gradient Descent
  • 带有动量的Gradient Descent

临界点critical point

基本介绍

导致更复杂的model并没有充分发挥它的作用造成训练集loss较大的原因主要是训练过程中过早地出现偏导gradient=0(因为参数更新的公式为$
w_{i+1}=w_i-\eta \times \frac{\partial loss}{\partial w}|_{w=w^0}
$)。而偏导gradient=0的情况既有遇到了局部最优解local minima也有遇到了鞍点saddle
point。这两种情况统称为遇到了**临界点critical point.**local
minima时没有可选的更新路径。而saddle point仍有另外方向的更新路径，如下图。

临界点两种情况的区分

利用泰勒级数逼近（函数在某一点的泰勒展开）的方法

函数在某一点x0的泰勒展开的公式为： $$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\dots \dots$$
则Loss在某一点θ0附近的泰勒展开公式为

$$Loss(\theta )=Loss({\theta }_0)+(\theta -{\theta }_0)\times g+\frac{1}{2}(\theta -{\theta }_0{)}^{T}H(\theta -{\theta }_0),g=Loss对每个参数的一阶导向量,H为Loss的黑塞Hessian矩阵$$

g和H的举例介绍

以Loss(w,b)为例，则g和H见下

$$g=[\frac{\partial Loss}{\partial w},\frac{\partial Loss}{\partial b}],H=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}Loss}{\partial w^2}& \frac{{\partial }^{2}Loss}{\partial w\partial b}\\ \frac{{\partial }^{2}Loss}{\partial b\partial w}& \frac{{\partial }^{2}Loss}{\partial b^2}\end{array}\right)$$

根据H区分Saddle Point和local minima

特征值的求法：矩阵A的特征值：|λE-A|=0的λ解
特征向量：将求出来的每个特征值λ代入(A-λE)x=0，解出所有的x即为特征向量

临界点的gradient为0，即g为0。故Loss的泰勒逼近函数只剩下了H项，函数如下。若对于θ0附近的所有θ：

$$Loss(\theta )=Loss({\theta }_0)+\frac{1}{2}(\theta -{\theta }_0{)}^{T}H(\theta -{\theta }_0),H为Loss的黑塞Hessian矩阵$$

• 若**(θ-θ0)TH(θ-θ0)>0** **，则对于任意附近的θ 有Loss(θ)>Loss(θ0)，θ0为Local Minima。此时H的特征值均为正——正定矩阵**

• 若**(θ-θ0)TH(θ-θ0)<0** ，则对于任意附近的θ 有Loss(θ)<Loss(θ0)，θ0为Local Maxima。此时H的特征值均为负​

• 若**(θ-θ0)TH(θ-θ0)>0与(θ-θ0)TH(θ-θ0)<0同时存在** ，则θ0为saddle point，此时H的特征值有正有负​

  **此时可根据负根的特征向量往更小的地方更新参数，原理如下：**设x=θ-θ0，若x为特征向量，则xTHx=xT(Hx)=xT(λx)=λ(xTx)=λ|x||x|。此时若λ为负，则Loss(θ)<Loss(θ0)实现了Loss的减少，而θ=θ0+x
  $$\theta ={\theta }_0+x$$

实际上不会用H去区分，因为计算量大 低维度的local minima很多都是高纬度的saddle point，因此日常训练中saddle point更为常见

批次Batch

一个batch内有一定量的样本，每个batch内样本数相同。batch内的所有样本计算一次loss，用于更新模型内参数。所有的batch全计算过一遍后称为一次迭代epoch。每次epoch前都需要随机选择参数初始值，随机划分batch。

batch大小的比较

batch内的大小决定了一次epoch内更新参数的次数也决定了batch内所有样本计算loss的时间开销

时间的开销

若不采用GPU并行计算，则batch内样本数量越多，花费时间越多，否则花费时间越少。若采用GPU并行计算，则batch内样本在一定大数内计算花费时间是几乎一样的。

而在一次epoch内，batch内样本数量越多，batch的数量越少，一次epoch花费的时间越少，参数的更新也越相对稳定。而batch内样本数量越少，batch的数量越多，一次epoch花费的时间越多，参数的更新越noise。

📌从花费时间上来说，大的batch size更好

训练集和测试集的效果

训练集效果

小的batch size的noise更有利于训练，大的batch size反而会导致optimization的问题 原因：小的batch size会有更多的batch
num。因为不同的batch的Loss函数不同，从而使得临界点不同，从而能够更多次地更新参数，比大的batch
size更能避免gradient=0的情况

测试集效果

原因：小的batch
size会产生更有容错的model(盆地)，从而会使结果与实际结果相差较小。而大的batch
size会有较低的容错可能(峡谷),从而与实际结果相差较大。

小的batch更有利于训练集的训练和测试集的预测

动量Momentum

动量的定义是给模型一个动力，让其在gradient=0的local minima仍能走出

一般的Gradient Descent

$$w_{i+1}=w_i-\eta \times \frac{\partial loss}{\partial w}{|}_{w=w^0}$$

带有动量的Gradient Descent

带有动量的Gradient Descent每次更新时更新的量是上一次的更新量*λ减去这一次的η*gradient

$${\theta }^0,m^0=0,{\theta }^1={\theta }^0+m^1,m^1=\lambda m^0-\eta g^0,{\theta }^2={\theta }^1+m^2,m^2=\lambda m^1-\eta g^1$$

总结公式如下：

$${\theta }^i={\theta }^{i-1}-\eta {\lambda }^{i-1}{g}^0-\eta {\lambda }^{i-2}{g}^1-\dots \dots -\eta g^{i-1},初始时为{\theta }^0,且后续不重复$$