【C++代码】买卖股票最佳时机系列，动态规划--代码随想录

题目：买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int low=INT_MAX;
        int res=0;
        for(int i=0;i<prices.size();i++){
            low = low>prices[i]?prices[i]:low;
            res = res>prices[i]-low?res:prices[i]-low;
        }
        return res;
    }
};

动规,确定dp数组（dp table）以及下标的含义:dp[i] [0] 表示第i天持有股票所得最多现金,dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态。
确定递推公式：如果第i天持有股票即dp[i] [0]，那么可以由两个状态推出来：第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1] [0]；第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]。如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来：第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1] [1]；第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]；同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1] [0]);
dp数组如何初始化：由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1] [0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1] [1], prices[i] + dp[i - 1] [0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。那么dp[0] [0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0] [0] -= prices[0];dp[0] [1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0] [1] = 0;

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len==0){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> dp(len,vector<int>(2));
        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],-prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0]);
        }
        return dp[len-1][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)；空间复杂度：O(n)

题目：买卖股票的最佳时机 II

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。返回 你能获得的最大利润 。

贪心算法：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res=0;
        for(int i=0;i<prices.size()-1;i++){
            res += (prices[i+1]-prices[i]) > 0?(prices[i+1]-prices[i]):0;
        }
        return res;
    }
};

因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。那么第i天持有股票即dp[i] [0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1] [1] - prices[i]。
如果第i天不持有股票即dp[i] [1]的情况，依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1] [1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        vector<vector<int>> dp(len,vector<int>(2,0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
        }
        return dp[len-1][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)；空间复杂度：O(n)
这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1] [1]，所以dp[i - 1] [1] - prices[i]。

题目：买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
确定dp数组以及下标的含义：一天一共就有五个状态，
- 没有操作
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
- dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i] [j]表示第i天状态j所剩最大现金。需要注意：dp[i] [1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很容易陷入的误区。例如 dp[i] [1] ，并不是说第i天一定买入股票，有可能第 i-1天就买入了，那么 dp[i] [1] 延续买入股票的这个状态。
确定递推公式：达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i-1] [0] - prices[i]；操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]。所以 dp[i] [1] = max(dp[i-1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);
- dp[i] [2]也有两个操作：操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]；操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]。所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])
- 同理可推出剩下状态部分：dp[i] [3] = max(dp[i - 1] [3], dp[i - 1] [2] - prices[i]);dp[i][4] = max(dp[i - 1] [4], dp[i - 1] [3] + prices[i]);
dp数组如何初始化：第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0] [0] = 0;第0天做第一次买入的操作，dp[0] [1] = -prices[0];第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0] [3] = -prices[0];同理第二次卖出初始化dp[0] [4] = 0;

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size()==0){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(5,0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]); //第一次持有股票
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]); //第一次不持有股票
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]); //第二次持有股票
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]); //第二次不持有股票
        }
        return dp[prices.size()-1][4];
    }
};

时间复杂度：O(n) ；空间复杂度：O(n × 5)

题目：买卖股票的最佳时机 IV

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
确定dp数组以及下标的含义：使用二维数组 dp[i] [j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i] [j]，j的状态表示为（除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入）：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
确定递推公式：还要强调一下：dp[i] [1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很容易陷入的误区。达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i - 1] [0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]
dp数组如何初始化：第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0] [0] = 0;第0天做第一次买入的操作，dp[0] [1] = -prices[0];当天买入，当天卖出，所以dp[0] [2] = 0;
确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        if(prices.size()==0){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2*k+1,0));
        for(int j=1;j<2*k;j+=2){
            dp[0][j] = -prices[0];
        }
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            for(int j=0;j<2*k-1;j+=2){
                dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j]-prices[i]);
                dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2],dp[i-1][j+1]+prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.size()-1][2*k];
    }
};

时间复杂度: O(n * k)，其中 n 为 prices 的长度；空间复杂度: O(n * k)

题目：买卖股票的最佳时机含冷冻期

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格。设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
确定dp数组以及下标的含义：dp[i] [j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i] [j]。出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  - 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  - 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i] [0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i] [0] = dp[i - 1] [0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
  - 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1] [3] - prices[i]
  - 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1] [1] - prices[i]
- 达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i] [1]，有两个具体操作：
  - 操作一：前一天就是状态二
  - 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
- 达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i] [2] ，只有一个操作：
  - 昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出。即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [0] + prices[i];
- 达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i] [3]，只有一个操作：
  - 昨天卖出了股票（状态三）：dp[i] [3] = dp[i - 1] [2];
状态初始化：如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0] [0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。保持卖出股票状态（状态二），这里其实从「状态二」的定义来说，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1] [1] - prices[i] ，即 dp[0] [1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0] [1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后手里还剩的现金数量是不是就不对了。今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0] [2]初始化为0，dp[0] [3]也初始为0。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len==0){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> dp(len,vector<int>(4,0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],max(dp[i-1][3]-prices[i],dp[i-1][1]-prices[i]));
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
            dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i-1][2];
        }
        return max(dp[len-1][3],max(dp[len-1][1],dp[len-1][2]));
    }
};

时间复杂度：O(n);空间复杂度：O(n)

题目：买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。返回获得利润的最大值。**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）唯一差别在于递推公式部分。
dp[i] [0] 表示第i天持有股票所剩最多现金。 dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金；如果第i天持有股票即dp[i] [0]，那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1] [0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1] [1] - prices[i]
如果第i天不持有股票即dp[i] [1]的情况，依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1] [1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1] [0] + prices[i] - fee

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(len,vector<int>(2,0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
        }
        return max(dp[len-1][0],dp[len-1][1]);
    }
};