题目描述：

编写一个高效的算法来搜索 m*n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例1：

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5
输出：true

示例 2：

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20
输出：false

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n, m <= 300
• -10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
• 每行的所有元素从左到右升序排列
• 每列的所有元素从上到下升序排列
• -10^9 <= target <= 10^9

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解题思路：

首先最简单的办法就是暴力法直接遍历数组判断target是否出现，时间复杂度为O(mn)，没有利用到这个题目矩阵的特点，显然这不是最优解。

根据矩阵 "每行的所有元素从左到右升序排列,每列的所有元素从上到下升序排列"的特点，容易想到可以利用二分法查找每一行或每一列来判断target是否出现，时间复杂度为O(mlogn)或O(nlogm)。

那么还有没有更好的办法呢？

仔细观察示例1中的矩阵，用红线标出每行可能出现target(5)的位置

标出示例2矩阵可能出现target(20)的位置

可以发现红线把矩阵分隔成了两块区域，左边区域元素都小于target，右边区域元素都大于target，那么不管是左边区域还是右边区域都不可能会出现target，所以只要想办法遍历矩阵红线标记位置，其他位置就不用去遍历。

算法流程：

1.可以选矩阵的一角作为起点，选右上角(0,n-1)为起点开始遍历，元素matrix[i][j]：

• matrix[i][j]小于target，因为每行元素从左到右是升序，左边元素一定比matrix[i][j]小，所以应该往下搜索，i增加1。
• matrix[i][j]等于target返回true。
• matrix[i][j]大于target，因为每列从上到下是升序，下边元素一定比matrix[[i][j]大，所以应该往左搜索，j减少1。

2.若i或j出界，未查找到target，返回false。

以下是算法Java实现：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int m=matrix.length;
        int n=matrix[0].length;
        int i=0;
        int j=n-1;
        while(i<m&&j>=0){
            if(matrix[i][j]==target)    return true;
            if(matrix[i][j]>target){
                j--;
            } else{
                i++;
            }
        }
        return false;  
    }
}

以上算法在官方题解中称为"Z字形查找"，Z字形查找每次可以排除一行或一列的元素，时间复杂度为O(m+n)，空间复杂度为O(1)。

另一种理解方式——二叉搜索树

如下图所示，我们将矩阵逆时针旋转 45° ，并将其转化为图形式，发现其类似于 二叉搜索树 ，即对于每个元素，其左分支元素更小、右分支元素更大。因此，通过从 “根节点” 开始搜索，遇到比 target 大的元素就向左，反之向右，即可找到目标值 target 。