浮点数和定点数

本篇文章旨在简短的介绍浮点数、定点数的定义，以及一些常见的数制、补码。

一、常识

如果缺少以下常识的话，将很难理解浮点数和定点数的概念。

1、数

1. 自然数
2. 整数/分数
3. 小数：有限小数、无限循环小数、无限不循环小数
4. 实数：一个完备的数域。
5. 复数
6. 向量

2、计算机中数

1和0。

3、数制

2进制：逢2进1

8进制：逢8进1

10进制：逢10进1

16进制：逢16进1

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二、定点数和浮点数

在现实世界，我们需要计算y=sin(x)、y=cos(x)的函数值，x属于R，结果将是-1～1的无限稠密的连续值。

考虑计算机，x和y只能用有限的1和0来表示（有没有感受到人类的局限性，哪怕是用10³⁰⁰个字节来存储，也是有限的，用全世界的硬盘来存储也是有限的）。

现在人类将做出让步：比如只用10位小数位数作为有效值，之后的小数位数就省略了。

1、定点数

一句话：区间等分。

1⃣️考虑自然数：4bit，表示0～15，一共16个数。这也被称为自然编码。无须多言，自然的意思就是自然就懂了。

2⃣️考虑小数：比如用4bit，可以表示0～15，一共16个整数。如果用来表示0～1，那么把0～1等分成16等份，4’b0000表示0，4’b0001表示1/16=0.0625，4’b1111表示15/16=0.9375。想要精度更高，就付出更多bit位数的代价。

比如8bit，8’b0000_0001 = 1/256 = 0.00390625 ≈千分之4

现在你已经学会了用二进制数表示有限位的小数了。

3⃣️现在考虑负数：补码（不需要从公式角度理解）。

补码就是走针的手表。12过了就是1。

举例：3bit，自然编码，最大就是111，表示7，现在用111表示-1，越过了111，就是000，表示0。其余的正常加减就行了。一句话：用自然编码的最大值和最小值来表示正负之间的鸿沟。

3bit的补码，范围为-4到3。（在这个数域中：3+1=-4）

-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
100	101	110	111	000	001	010	011

现在你已经学会了用二进制数表示负数了。

4⃣️考虑负的小数：用补码表示小数。

比如3bit的补码，范围为-2到正2：

-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
100	101	110	111	000	001	010	011
-2	-1.5	-1	-0.5	0.0	0.5	1.0	1.5

（不知道读者读到这里有没有意识到一个问题：我们讨论的1和0和实数中的1和0是不是同一个东西？搜索关键词：伽罗华域。计算机中的1和0只是一个代号，其物理存在是高电平和低电平。如果不嫌麻烦完全可以记为阳和阴，那么这里-2的补码就是“阳阴阴”。）

2、浮点数

1⃣️考虑一个定点数：32bit能够表示的范围：0～42_9496_7295。一共有42.9亿多种状态，假设每个数，都带有10个bit的小数位数，并用补码表示：那么范围是：[-2²¹,2²¹-1]。2²¹-1=209_7151。也就是说，计算范围是正负209万，两千乘以两千都会越界。（2000*2000=400万）

有没有感受到定点数的局限性？

现在我们来考虑牺牲一点东西，然后换来不越界的好处。

牺牲什么好呢？

自然是最不受重视的小数了。但又不能一个小数位数都不要。

那应该怎么办呢？

原则：大数的小数位数少一些，小数的小数位数多一些。这个原则显然是很合理的，想想你月初拿到生活费的时候，再想想你月底生活费快用光的时候。

2⃣️浮点数：

考虑一个大数：1314520 = 1.314520*10⁶

考虑一个小数：0.1314520 = 1.314520*10^-6

这里两个数差了12个数量级。

但是二者却很相似。科学记数法：±1.(小数部分)*10ⁿ

因此我们不用记录1，只需要记录正负号、小数部分、指数

现在我们把这个科学记数法里面的小数部分称为尾数部分，换个名字，便于区分。

来看看IEEE的规定：（图片截图于:通俗易懂理解——浮点与定点的计算机表示及互转）

那么你能计算出单精度浮点数的范围吗？

指数部分8位，考虑正负指数：-128到127次方。

范围就是[10^-128,10¹²⁷]。

这种表示规则的好处就是，将范围拓展的很大，并且每个数都只有23位尾数。这意味着，一个大于10²³的数，将会一个小数位数都没有。

带来的坏处：一个大数+一个小数，小数结果将被无情丢弃，这可能会导致计算出错。