【管理运筹学】第 10 章 | 排队论(5,多服务台排队系统、一般服务时间模型、P-K 公式、排队系统的经济分析)

news2025/1/15 23:41:21

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引言

对于多服务台负指数分布排队系统,大纲要求没那么深,只提到了状态转移图以及状态概率的方程,因此我这部分也就作简单介绍,重点在后面的一般服务时间模型上。


一、多服务台排队系统

M / M / c M/M/c M/M/c 模型各种的特征的规定与标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型的规定相同。另外规定各服务台工作是相互独立且平均服务率 μ 1 = μ 2 = ⋯ = μ c = μ \mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_c=\mu μ1=μ2==μc=μ ,于是整个服务机构的平均服务率为 c μ ( n ≥ c ) , n μ ( n < c ) c\mu(n\geq c),n\mu(n<c) cμ(nc),nμ(n<c) ;令 ρ = λ / ( c μ ) \rho=\lambda/(c\mu) ρ=λ/(cμ) ,只有当其小于 1 时才不会形成无限的队列,称它为这个服务系统的服务强度或服务机构的平均利用率。

在分析这一排队系统时,仍从状态间的转移关系开始。状态 1 转移到状态 0,即系统中有一名顾客被服务完了的转移率为 μ P 1 \mu P_1 μP1 。状态 2 转移到状态 1 时,两个服务台上有一个顾客离去,因此转移率为 2 μ P 2 2\mu P_2 2μP2 。同理,考虑状态 n n n 转移到状态 n − 1 n-1 n1 的情况。当 n < c n<c n<c 时,转移率为 n μ P n n\mu P_n nμPn ;当 n ≥ c n\geq c nc 时,转移率为 c μ P n c\mu P_n cμPn

于是有 { λ P 0 = μ P 1 λ P n − 1 + ( n + 1 ) μ P n + 1 = ( n μ + λ ) P n ( 1 ≤ n ≤ c ) λ P n − 1 + c μ P n + 1 = ( c μ + λ ) P n ( n > c ) . \begin{cases} \lambda P_0=\mu P_1 \\ \lambda P_{n-1}+(n+1)\mu P_{n+1}=(n\mu+\lambda)P_n(1\leq n\leq c) \\ \lambda P_{n-1}+c\mu P_{n+1}=(c\mu+\lambda)P_n(n>c)\end{cases}. λP0=μP1λPn1+(n+1)μPn+1=(nμ+λ)Pn(1nc)λPn1+cμPn+1=(cμ+λ)Pn(n>c).


二、一般服务时间 M / G / 1 M/G/1 M/G/1 模型

前面研究了普阿松输入和负指数的服务时间模型。下面讨论服务时间是任意分布的情形。以下关系,对任意情形都是正确的( E E E 表示期望): E [ 系统中的顾客数 ] = E [ 队列中的顾客数 ] + E [ 服务机构的顾客数 ] E [ 在系统中逗留时间 ] = E [ 排队等候时间 ] + E [ 服务时间 ] E[系统中的顾客数]=E[队列中的顾客数]+E[服务机构的顾客数] \\ E[在系统中逗留时间]=E[排队等候时间]+E[服务时间] E[系统中的顾客数]=E[队列中的顾客数]+E[服务机构的顾客数]E[在系统中逗留时间]=E[排队等候时间]+E[服务时间] 用符号表示为 { L s = L q + L s e W s = W q + E ( T ) (1) \begin{cases}L_s=L_q+L_{se} \\ W_s=W_q+E(T) \end{cases}\tag{1} {Ls=Lq+LseWs=Wq+E(T)(1)

Pollaczek-Khinchine(P-K)公式

对于 M / G / 1 M/G/1 M/G/1 模型,服务时间 T T T 的分布是一般的,但要求其期望 E E E 与方差 D D D 均存在,其他条件与标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型相同。为了达到稳态, ρ < 1 \rho<1 ρ<1 这一条件还是必要的,其中 ρ = λ E ( T ) \rho=\lambda E(T) ρ=λE(T)

在上述条件下,有: L s = ρ + ρ 2 + λ 2 D ( T ) 2 ( 1 − ρ ) L_s=\rho+\frac{\rho^2+\lambda^2D(T)}{2(1-\rho)} Ls=ρ+2(1ρ)ρ2+λ2D(T) 这就是 P-K 公式。只要知道 λ , E ( T ) , D ( T ) \lambda,E(T),D(T) λ,E(T),D(T) ,不管 T T T 是什么分布,就可以求出 L s L_s Ls ,再根据式 (1) 和之前的 Little 公式: L s = λ W s , L q = λ W q L_s=\lambda W_s,L_q=\lambda W_q Ls=λWs,Lq=λWq 就可以求出 L q , W q , W s L_q,W_q,W_s Lq,Wq,Ws

我们可以用标准的 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 模型验证一下,该模型中的 T T T 服从参数为 μ \mu μ 的负指数分布,则 D ( T ) = 1 / μ 2 D(T)=1/\mu^2 D(T)=1/μ2 ,代入 P-K 公式得 L s = ρ + ρ 2 / ( 1 − ρ ) = ρ / ( 1 − ρ ) L_s=\rho+\rho^2/(1-\rho)=\rho/(1-\rho) Ls=ρ+ρ2/(1ρ)=ρ/(1ρ) ,可知是正确的。

三、排队系统的经济分析

任何排队系统都是由两方面构成的,即顾客和服务机构。对顾客来说,总是希望能够进入服务系统并立刻得到服务,而且在系统中逗留时间越短越好。因此希望服务台越多越好,这样顾客花费的时间少,损失就少。

对服务机构来说,增加服务台就得增加投资,提高服务效率也会增加开支,当服务台出现空闲时,还会造成资源浪费,因此增加服务台提高服务效率也是有条件的。

由此可知,对一个排队系统进行设计和管理时,必须兼顾顾客和服务机构双方的利益,确定合理指标,使系统达到最优。我们主要考虑系统设计最优,即在一定的质量指标下要求机构最为经济。

系统设计最优化,既可以从服务机构一方考虑,也可以从顾客、服务机构双方综合考虑;优化指标可以是时间也可以是费用。如果从费用考虑,要求顾客逗留损失费与服务机构的支出费用之和最小为优,这可以转化为选择恰当的服务水平,即最优服务水平。

顾客逗留损失费用是服务水平(数量、质量)的减函数,服务支出费用是服务水平的增函数,总费用是两者之和。当最小总费用存在时,它对应的服务水平即为最优服务水平,如下图所示。

在这里插入图片描述
在单服务台排队系统中,表达服务水平的指标主要是最优服务率 μ ∗ \mu^* μ ;而在多服务台排队系统中,最佳服务台个数是常考虑的指标;还可以用队列最长数 N N N 、服务强度 ρ \rho ρ 等来反应。

求解时,对于离散变量,常采用边际分析法;对于连续变量,常用经典的微分法;对于复杂问题,也可采用动态规划等方法。


写在最后

那排队论的内容就基本结束了,同时,专业课的全部理论部分也就完结了。剩下的时间,好好复习和连续,加强熟练度和理解。

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