引言

在C++编程中，位图是一种常用的数据结构，用于高效地表示大量的布尔值。它通过使用一个二进制位来表示每个元素的存在与否，从而节省了大量的内存空间。现在，让我们考虑这样一个问题：给定一个包含40亿个数的数据集合，我们需要快速判断一个特定的数是否存在于其中。如何有效地解决这个问题呢？

传统的线性搜索算法需要遍历整个数据集合，时间复杂度较高，无法满足实时性和高效性的要求。而位图算法则提供了一种更加优雅和高效的解决方案。通过将每个数映射到位图中的相应位置上，我们可以利用位运算来快速判断一个数是否存在。

通过深入理解位图算法的原理和实现，我们将能够在处理大规模数据集合时提供高效的查找功能。无论是在数据处理、搜索引擎还是其他需要频繁进行数值查找的场景中，位图算法都将发挥重要的作用。让我们开始探索吧！坐稳扶好咱们要开车了😍

一、位图的概念

1. 官方文档

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| 🔴 位图的官方文档介绍
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2. 基本概念

位图是一种数据结构，用于高效地表示大量的布尔值。它通过使用一个二进制位来表示每个元素的存在与否，从而节省了大量的内存空间。

具体来说，位图由一组二进制位（0或1）组成，其中每个位代表一个元素的存在状态。如果该位为1，则表示对应的元素存在；如果该位为0，则表示对应的元素不存在。通过这种方式，位图可以将大量的元素用较少的内存空间表示出来，从而提高了数据的处理效率。

在C++中，位图通常使用一个字符数组来表示。假设我们需要表示 $n$ 个元素的存在状态，那么我们可以使用一个长度为 $(n/8+1)$ 的整数数组来表示位图。其中，每个整数表示8个元素的存在状态。例如，如果第 $i$ 个元素存在，则我们可以将第 $i$ 个二进制位设置为1，并将其所在的整数存储在位图数组的第 $i/8$ 个位置上。比如：

通过这种方式，我们可以快速地进行元素的插入、删除和查找操作。在插入一个元素时，我们只需要将相应的二进制位设置为1即可；在删除一个元素时，我们只需要将相应的二进制位设置为0即可；在查找一个元素时，我们只需要检查相应的二进制位是否为1即可。后面我会详细介绍。

总之，位图是一种简单而高效的数据结构，可以用于处理大规模的布尔值集合。在C++编程中，我们可以使用位运算和整数数组来实现位图，并通过位图算法来提高数据的处理效率。

二、位图的实现

1. 插入

⭕位图的插入操作是将一个元素的存在状态设置为1，使其在位图中被标记为存在。

1. 计算索引：首先，需要确定要插入的元素在位图中对应的索引位置。通常情况下，位图使用字符数组来表示，每个整数可以表示8个元素的存在状态。因此，我们可以通过将元素的值除以8来计算它在整数数组中的索引。

   int idx = n / 8;
   

2. 计算偏移量：接下来，需要确定要插入的元素在位图中对应的二进制位的偏移量。偏移量是指元素在整数中的二进制位的位置。我们可以通过将元素的值模8来计算偏移量。

   int pos = n % 8;
   

3. 设置二进制位：最后，通过使用位运算和按位或操作，将对应的二进制位设置为1，即将元素插入位图。

   bitmap[idx] |= (1 << pos);
   

   这里，(1 << pos) 表示将1左移pos位，得到一个只有第pos位为1的二进制数。然后，使用按位或操作符|=将这个二进制数与位图中对应索引的整数进行按位或运算，将对应的二进制位设置为1。

2. 删除

⭕位图的删除操作是将一个元素的存在状态设置为0，使其在位图中被标记为不存在。

1. 计算索引：首先，需要确定要操作的元素在位图中对应的索引位置。由于每个char变量可以表示8个元素的存在状态，因此我们可以通过将元素的值除以8来计算它在char数组中的索引。

   int idx = n / 8;
   

2. 计算偏移量：接下来，需要确定要操作的元素在位图中对应的二进制位的偏移量。由于每个char变量可以表示8个元素的存在状态，我们可以通过将元素的值模8来计算偏移量。

   int pos = n % 8;
   

3. 清除二进制位：最后，通过使用位运算和按位与操作，将对应的二进制位设置为0，即将元素从位图中删除。

   bitmap[idx] &= ~(1 << pos);
   

这里，~(1 << pos) 表示将1左移pos位，得到一个只有第pos位为0的二进制数，然后使用按位与操作符&=将这个二进制数与位图中对应索引的整数进行按位与运算，将对应的二进制位设置为0。

3. 查找

⭕在位图中进行查找操作时，我们可以通过检查对应的二进制位来确定元素是否存在

1. 计算索引：首先，需要确定要查找的元素在位图中对应的索引位置。由于每个char变量可以表示8个元素的存在状态，因此我们可以通过将元素的值除以8来计算它在char数组中的索引。

   int idx = n / 8;
   

2. 计算偏移量：接下来，需要确定要查找的元素在位图中对应的二进制位的偏移量。由于每个char变量可以表示8个元素的存在状态，我们可以通过将元素的值模8来计算偏移量。

   int pos = n % 8;
   

3. 检查二进制位：使用按位与操作符&将对应的二进制位提取出来，并检查其值是否为1。

   int bit = bitmap[idx] & (1 << pos);
   

   这里，(1 << pos) 表示将1左移pos位，得到一个只有第pos位为1的二进制数。然后，使用按位与操作符&将这个二进制数与位图中对应索引的char变量进行按位与运算，提取出对应的二进制位。

4. 判断结果：根据上一步得到的结果，判断元素是否存在于位图中。

   • 如果结果为0，则表示元素不存在于位图中。
   • 如果结果不为0，则表示元素存在于位图中。

C++模拟实现

1. 类定义：定义了一个名为bitset的类，并使用模板参数size_t N指定位图的大小。

   template<size_t N>
   class bitset
   {
   public:
   	...
   private:
   	vector<char> _bits;
   };
   

2. 构造函数：在构造函数中，首先通过将位图大小除以8并加1来计算需要分配的char数组的大小，然后使用vector容器创建一个大小为该值的char数组，并将所有元素初始化为0。

   bitset()
   {
       _bits.resize(N/8 + 1, 0);
   }
   

3. set函数：set函数用于设置位图中的元素。它首先计算元素在位图中对应的索引和偏移量，然后使用按位或操作符|将对应的二进制位设置为1。

   void set(size_t x)
   {
       size_t i = x / 8;
       size_t j = x % 8;
   
       _bits[i] |= (1 << j);
   }
   

4. reset函数：reset函数用于重置位图中的元素。它首先计算元素在位图中对应的索引和偏移量，然后使用按位与非操作符~和按位与操作符&将对应的二进制位设置为0。

   void reset(size_t x)
   {
       size_t i = x / 8;
       size_t j = x % 8;
   
       _bits[i] &= ~(1 << j);
   }
   

5. test函数：test函数用于测试位图中的元素是否存在。它首先计算元素在位图中对应的索引和偏移量，然后使用按位与操作符&将对应的二进制位提取出来，并返回其值。

   bool test(size_t x)
   {
       size_t i = x / 8;
       size_t j = x % 8;
   
       return _bits[i] & (1 << j);
   }
   

6. 私有成员变量：在类定义中，还定义了一个名为_bits的私有成员变量，用于存储位图中的数据。该变量是一个char类型的vector容器，大小为位图大小除以8并加1，所有元素初始化为0。

   private:
   	vector<char> _bits;
   

🔴完整代码

#include <vector>

template<size_t N>
class bitset
{
public:
    // 构造函数
    bitset()
    {
        // 计算需要分配的char数组的大小，并使用vector容器创建一个大小为该值的char数组
        // 将所有元素初始化为0
        _bits.resize(N/8 + 1, 0);
    }

    // 设置位图中的元素
    void set(size_t x)
    {
        // 计算元素在位图中对应的索引和偏移量
        size_t i = x / 8;
        size_t j = x % 8;

        // 使用按位或操作符|将对应的二进制位设置为1
        _bits[i] |= (1 << j);
    }

    // 重置位图中的元素
    void reset(size_t x)
    {
        // 计算元素在位图中对应的索引和偏移量
        size_t i = x / 8;
        size_t j = x % 8;

        // 使用按位与非操作符~和按位与操作符&将对应的二进制位设置为0
        _bits[i] &= ~(1 << j);
    }

    // 测试位图中的元素是否存在
    bool test(size_t x)
    {
        // 计算元素在位图中对应的索引和偏移量
        size_t i = x / 8;
        size_t j = x % 8;

        // 使用按位与操作符&将对应的二进制位提取出来，并返回其值
        return _bits[i] & (1 << j);
    }

private:
    // 存储位图数据的私有成员变量
    std::vector<char> _bits;
};

总结

位图是一种用于表示和操作大量二进制位的数据结构。它通过使用一个固定长度的数组来存储位的状态，每个位可以表示某种信息的存在与否。位图常用于解决需要高效存储和操作大量布尔类型数据的问题。在C++中，可以使用类似上述的位图类来模拟实现位图功能，实现插入、删除和查找等操作。位图的优点是占用空间小、操作高效，但受限于位数范围。

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