P1322 - [蓝桥杯2017初赛]包子凑数 - New Online Judge 

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题目分两步：（1）判断结果是否为INF；（2）如果不是INF，统计数量。考点是“数论gcd+简单DP”。

1. 什么时候答案不是INF

什么时候答案不是INF？也就是说，除了少数一些整数无法组合得到，其他所有的整数都能得到。

首先看2个数a、b的情况，结论是：若gcd(a,b)!=1，则答案不是INF。

以两个数4、5为例，任取x个4和y个5(x,y≥0)，它们能组合得到的数是：

4x+5y=c

若把c看成常数，这是一个二元一次方程。

二元一次方程ax+by=c有整数解的定理：设a，b是整数且gcd(a,b)=d，如果d不能整除c，那么方程ax+by=c没有整数解，如果d能整除c，那么存在无穷多个整数解。

显然，如果gcd(a,b)=1，由于1能整除所有整数，此时ax+by能得到所有整数。
在例子4x+5y=c中，因为gcd(4,5)=1，那么不管c是什么整数，都存在整数解x、y ，也就是说答案不是INF。

不过，x、y的解可能是负整数，而本题要求x、y是非负整数。

下面证明：当c很大时，肯定有x、y的非负整数解。

当gcd(a,b)=1时，ax+by=c的通解是：

x=x0+bn
y=y0−an

其中n是任意整数，而x0、y0是一个特解，它显然满足：ax0+by0=c

两式分别乘以a、b，得：

ax=ax0+abn
by=by0−abn

取n是一个正整数，有ax=ax0+abn≥0，即x是非负的。而：

by=c−ax0−abn

当c很大时，by也是非负的，即y是非负的。

以上证明了c很大时，存在x、y的非负整数解。

以上讨论了给定2个数的情况，若给定多个数a、b、e、f…可以推导出结论：gcd(a,b,e,f, . . . )=1时，答案是非INF。

2. 统计

很简单。例如a[0]，把它所有的倍数i=a[0]、2*a[0]、3*a[0]、. . . . . .都算一遍。a[1]、a[2]…也一样。

用dp[ i ]=1表示第i个整数被计算出来了，最后统计没有被算过的dp[ i ] 的个数即可。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,t,dp[100001],a[100001],n;
int main()
{
  cin>>n;
  for(int i = 0; i < n; i++) cin>>a[i];
  t = a[0];
  for(int i = 1; i < n; i++) t = __gcd(t,a[i]);
  if(t != 1)
  {
    cout<<"INF";
    return 0;
  }
  for(int i = 0; i < n; i++)
  {
    dp[a[i]] = 1;
    for(int j = 1; j <= 10000; j++)
      if(dp[j] == 1)
        dp[a[i] + j] = 1;
  }
  for(int i = 1; i <= 10000; i++)
    if(dp[i] == 0)
      ans++;
  cout<<ans;
  return 0;
}