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引言

了解了标准的 $M/M/1$ 模型后，我们可以深入去学习其他情形的排队系统，如系统的容量有限制和顾客源为有限的排队系统。

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一、系统的容量有限制（$M/M/1/N/\infty$）

对于单服务台的情形，如果系统的最大容量为 $N$ ，排队等待的顾客最多为 $N-1$ ，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有 $N$ 个顾客，那么这个顾客就会被拒绝进入系统（如下图所示）。

当 $N=1$ 时，为即时制情形；当 $N=\infty$ 时，为容量无限制情形。

和标准的无限制情形一样，我们只考虑稳态情况下，于是可得到状态概率的稳态方程为：$$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1\\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_n,1\le n\le N-1\\ \lambda P_{N-1}=\mu P_N\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 比标准情形下多了第三个方程，也就是容量的限制。同理，我们利用数理统计和高数的知识，有 $$P_0+P_1+\cdots +P_N=1$$ 仍令 $\rho =\lambda /\mu$ ，于是有 $$\{\begin{array}{ll}{P}_0=(1-\rho )/(1-{\rho }^{N+1})& \\ P_n={\rho }^n{P}_0& \rho \ne 1,n\le N\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$ 在对容量没有限制的情形，我们要求服务强度 $\rho <1$ ，这不仅是实际问题的需要，也是级数收敛所必需的。在有容量限制的情况下，队列不会一直排下去，也就无需对 $\rho$ 有要求。不过当 $\rho >1$ 时，可以想象被拒绝的顾客是比较多。

由式 (2) 我们可以推导出此系统的各项指标。

（1）队长（期望值）$$L_s=\sum _{n=0}^{N}n{P}_n=\frac{\rho }{1-\rho }-\frac{(N+1){\rho }^{N+1}}{1-{\rho }^{N+1}},\rho \ne 1.$$ （2）队列长（期望值）$$L_q=L_s-(1-P_0).$$ 在研究顾客平均逗留时间 $W_s$ 和对队列中平均等待时间 $W_q$ 时，虽然 Little 公式仍然可以使用，但要注意到达率 $\lambda$ 的使用，应该是在系统容量未满时的到达率。当系统容量达到上限后，$\lambda =0$ 。因此我们需计算出有效到达率 ${\lambda }_e=\lambda (1-P_N)$ 。可以得到 $$\frac{{\lambda }_e}{\mu }=1-P_0.$$ （3）逗留时间（期望值）$$W_s=\frac{L_s}{{\lambda }_e}=L_s-(1-P_0).$$ （4）排队时间（期望值）$$W_q=W_s-\frac{1}{\mu }.$$ 下面我们考虑服务强度等于 1 即 $\rho =1$ 的情形，此时到达率和服务率相等，根据式 (1) ，有 $$P_0=P_1,\sum _{n=0}^N{P}_n=P_0+P_1+\cdots +P_N=(N+1)P_0=1$$ 于是有 $P_i=1/(N+1),i=0,1,\cdots N$ ；$L_s=N/2,L_q=N^2/(2N+2).$

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二、顾客源为有限的情形（$M/M/1/\infty /m$）

以最常见的机器因故障需要停机待修的问题来说明。设共有 $m$ 台机器需要修理（顾客总体），机器因故障停机表示“到达”，待修理的机器形成队伍，修理人员是服务机构。类似的例子还有 $m$ 个打字员共用一台打字机，$m$ 个会计分析员共用一个计算机终端等等。

顾客总体虽然只有 $m$ 个，但每个顾客到来并经过服务后，仍回到原来总体，所以仍然可以到来。即机器修好了，仍然可能还会坏。可以发现，kendall 记号中系统容量尽管为无穷，但实际最多不会超过 $m$ ，因此，此模型和 $M/M/1/m/m$ 的意义相同。

平均到达率，在无限源的情形下是按照全体顾客来考虑的；在有限源的情形下，必须按每个顾客来考虑。为简单起见，设每个顾客的到达率都是相同的 $\lambda$（在这里的含义是每台机器单位运转时间内发生故障的概率或平均次数），在系统外的顾客（正常运转机器）平均数为 $m-L_s$ ，对系统的有效到达率 ${\lambda }_e$ ，可以使用前述方法。有 ${\lambda }_e=\lambda (m-L_s)$ 。

在稳态的情况下，当由状态 0 转移到状态 1，每台设备由正常状态转移为故障状态，其转移率为$\lambda P_0$，现有 $m$ 台设备，都有可能故障，因此转移率为 $m\lambda P_0$。由状态 1 转为状态 0，转移率为 $\mu P_1$。状态 $n-1$ 转为状态 $n$ ，转移率为 $(m-(n-1))\lambda P_{n-1}$ 。因此可得到各状态的转移方程为：$$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1\\ \lambda (m-n+1)P_{n-1}+\mu P_{n+1}=[(m-n)\lambda +\mu ]m{P}_n,1\le n\le N-1\\ \lambda P_{m-1}=\mu P_m\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$ 此模型无需要求 $\rho <1$ ，注意到 $$\sum _{n=0}^m{P}_n=1$$ 可得到 $$P_0=1/\sum _{i=0}^m\frac{m!}{(m-i)!}{\rho }^i,P_n=\frac{m!}{(m-n)!}{\rho }^n\cdot P_0(1\le n\le m).$$ 于是系统的各项指标为 $$(1)L_s=m-\frac{1-P_0}{\rho },(2)L_q=L_s-(1-P_0);$$$$(3)W_s=L_s/{\lambda }_e=L_s/\mu (1-P_0),(4)W_q=W_s-1/\mu .$$

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写在最后

到此，单服务台的排队系统的三种情形就介绍完了，彼此之间都有关联，各类指标的公式需要记忆。