【算法】模拟退火算法（SAA,Simulated Annealing Algorithm）

news2024/11/16 22:30:32

模拟退火算法（SAA）简介

模拟退火算法（SAA，Simulated Annealing Algorithm）的灵感来源于工艺铸造流程中的退火处理，随着铸造温度升高，分子运动趋于无序，徐徐冷却后，分子运动趋于有序。这是一种基于概率突跳特性（取决于温度状态）的算法，在解空间中概率寻找（或趋近于）最优解。它是跳出局部最优解的一个常用解决办法。在超大规模集成电路（Very Large Scale Integration Circuit，VLSI）、神经网计算机、计算机视觉、TSP和Knapsack问题等有重要且广泛的应用。

模拟退火算法采用了串行结构。

SAA步骤

模拟退火算法的三要素是解空间，目标函数和初始解。它的基本思想是：

初始化
首先确定一个初始温度T，初始解状态S，每个T值的迭代次数L。
迭代
在1－L次数中做这些操作：（2）
产生新解S’。
计算温度增量△t’＝C(S’)-C(S)。（C(S)为评估函数）
若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/(KT))接受S′作为新的当前解(k为波尔兹曼常数）
如果终止条件已经满足，则接受当前解作为最优解，并停止迭代计算。如果不是，则继续。
T逐渐减少，且t趋近于0，则转到2.迭代。（1）

SAA原理

模拟退火算法包含两个部分，即Metropolis和退火过程，分别对应着内循环和外循环。外循环将固体加热至较高的温度（初始温度T0），然后按照降温系数alpha使温度按照一定的比例下降，当达到终止温度Tf时，冷却结束，退火过程结束，对应上述的（1）过程。

Metropolis算法是内循环，即在每次更新的温度下迭代L次，并寻找该温度下能量的最小值（最优解）。对应的是上述的（2）过程。

用能量变化来解释模拟退火算法接受新解的情况：

Metropolis准则：
1953年提出。若在温度T时，由状态i转变为状态j，那么若Ej<Ei，则接受j状态为新状态。否则，进入新一轮判断：若概率P=exp(-(Ej-Ei)/KT)大于[0,1]区间的随机数，则接受j为新状态；若不成立，则保留i为新状态。
Metropolis算法是退火算法的基础，同样是在局部最优中选取全局最优。

在“退火”过程中，铸件徐徐冷却，分子运动趋于有序，每个分子都趋于平衡态，最终温度下降到常温时，达到基态，内能减为最小，能量减小原子趋于稳定。

在一定的某温度 $T_0$ 下，存在状态变换（由一个波谷变化至下一个波谷），那么如果下一个波谷能量 $E (n + 1)$ 大于原先的 $E (n)$ ，就接受它成为新解，否则进入判断，设置一个概率P：

$\begin{cases} \displaystyle1 & E(n+1)<E(n)\\e^{-(E(n+1)-E(n))/T} & \text{E(n+1)≥E(n)} \end{cases}$

退火过程由冷却温度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件Tf。

在这里插入图片描述
接受状态的三条原则：

（1）在固定温度下，接受使目标函数下降的候选解的概率 $>$ 使目标函数上升的候选解概率；

（2）随着温度的下降，接受使目标函数上升的解的概率要逐渐减小；

（3）当温度趋于零时，只能接受目标函数下降的解。

可见参数的选择控制构成了模拟退火算法的重点和创新点。

SAA的参数选择控制

选择足够高的初始温度 $T_0$ 意味着有更多的选择可以被触及，也就更接近全局最优解。
指数式下降的温度下降方式尤为便捷，而且收敛速度较慢。
终止温度的选取。

SAA的改进方向

模拟退火算法的缺点：

收敛速度慢
优化解和运行时间存在一定矛盾
难以判断是否达到最终平衡态

目前，已有一些高效的改进方案，比如并行模拟退火算法、快速模拟退火算法等。

改进的可行方案：
采用并行搜索结构，并改进状态产生函数，改进退火历程，增加新的环节，例如增加升温/重升温过程，增加补充搜索过程，增加多次搜索策略等。

SAA简单应用实例

用模拟退火算法求解 $f(x)=x^2$ 的最小值：

import math  
import random  
  
def simulated_annealing():  
    # 初始化  
    x = 20*(random.random()-0.5)  # 初始解  
    T = 1000  # 初始温度  
    T_min = 1e-3  # 温度下限，当T小于此值时，停止迭代  
    alpha = 0.99  # 温度衰减系数  
    y = x**2  # 初始解的质量  
  
    while T > T_min:  
        # 在当前解附近随机选择一个新解  
        delta_x = (random.random()-0.5)  
        new_x = x + delta_x  
        new_y = new_x**2  
  
        # Metropolis准则：若新解比旧解好，或者根据概率接受不良解，以避免陷入局部最小值  
        if new_y < y:  
            x = new_x  
            y = new_y  
        else:  
            p = math.exp((y - new_y) / T)  
            if random.random() < p:  
                x = new_x  
                y = new_y  
  
        # 降温  
        T *= alpha  
  
    return x, y  
  
if __name__ == "__main__":  
    x, y = simulated_annealing()  
    print(f"最优解: x = {x}, y = {y}")