概念

• 本文讨论导数的应用:利用导数研究函数的性态
• 相关定理主要通过Lagrange中值定理进行推导,也是Lagrange中值定理的应用
  • 一次求导就对应一次Lagrange中值定理的应用
• 函数图形的绘制

称呼说明

• 本文中的点指的不是直角坐标系中的二维点,而是数轴($x$轴,$y$轴上的点,例如$x=x_0$,$y=f(x_0)$)

驻点

• 连续曲线$y=f(x)$的导数$f^{\prime }(x)=0$的解$x=a$称为$f(x)$的驻点(稳定点/临界点)
• 驻点和极值点:极值点不一定是驻点,驻点不一定是极值点
  • 例如:$y=|x|$的极值点为$x=0$,但此处不可导,因此不是驻点
  • 例如:$y=x^3$的驻点为$x=0$,但此处不是极值点

极值和极值点

• 设函数$f(x)$在邻域$U(x_0)$内有定义,当$x\in U(x_0)$时有$f(x)⩾f(x_0)$,$(f(x)⩽f(x_0))$则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个极小值(极大值),$x=x_0$称为函数的一个极小值点(极大值点)

• 极小值和极大值统称为极值;极小值点和极大值点统称为极值点

• 极值和极值点都不是坐标,而是坐标分量,极值点时自变量的某个取值,极值是极值点对应的函数值

最值

• 设函数$f(x)$在区间$I$上有定义,若$\exists x_0\in I$,使得$\forall x\in I$都有有$f(x)⩾f(x_0)$,$(f(x)⩽f(x_0))$则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个最值(最大值),$x_0$称为最小值点(最大值点)
• 最小值和最大值统称为最值,最小值点和最大值点统称为最值点

极值点和最值比较

• 最值和极值都不是坐标,而是某个自变量取值下的函数值
• 有最值得函数不一定有极值;有极值也不一定有最值
• 联系:
  • 若$f(x)$有最值,且最值点不再区间$I$端点处(而在区间$I$内部);则最值点是某个极值点

曲线的凹凸性

• 设函数$f(x)$在区间$I$上连续,$\forall x_1,x_2\in I$,联结$A(x_1,f(x_1))$,$B(x_2,f(x_2))$构成的弦$AB$总是在弧AB的上方(下方),则称$f(x)$在区间$I$上是凹(凸)的

  • 在函数图形上,区间$I$上是凹的,则其形状和凹字呈现的形状含义相同,
  • 例如二次函数$y=x^2$是$\mathbb{R}$上的凹函数;而$y=-x^2$是凸函数

• 形式化定义:

  • 设$f(x)$在区间$I$上连续,若对$I$上任意两点$x_1,x_2$,恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})$<$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,那么称$f(x)$在$I$上的图形是向上凹的(或称为凹弧);若恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})$>$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,那么称$f(x)$在$I$上的图形是向上凸的(或称为凸弧);

• 形式化定义是重要的,因为许多相关定理的证明借助形式化定义更方便和严谨

凹凸性判定定理👺

• 设$f(x)$在$[a,b]$上来纳许,在$(a,b)$内具有一阶和二阶导数,则
  1. 若$(a,b)$内$f^{\prime \prime }(x)>0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的
  2. 若$(a,b)$内$f^{\prime \prime }(x)<0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的
• 法则中的闭区间换成其他区间也成立
• 凹函数$f^{\prime \prime }(x)>0$表示函数最自变量变换函数的变化增快,例如$y=e^x,y=-x^2$,反之则表示变化较慢,这就是函数的导数$f^{\prime }(x)$的导数$f^{\prime \prime }(x)$的几何含义

例

• 判断$y=\ln x$的凹凸性
  • 因为$y^{\prime \prime }=(x^{-1}{)}^{\prime }=-x^{-2}$,在$y=\ln x$定义域$(0,+\infty )$内,$y^{\prime \prime }<0$,有凹凸性判定定理,$y=\ln x$是凸的

证明

• 以情形1为例
  • 设$x_1,x_2\in [a,b]$,$x_1<x_2$,记$\frac{x_1+x_2}{2}=x_0$,
  • 记$x_2-x_0=x_0-x_1=h$,(显然$h>0$);则$x_1=x_0-h$,$x_2=x_0+h$,(0)分别在区间$[x_1,x_0],[x_0,x_2]$上Lagrange中值公式,得
    • $f(x_0+h)-f(x_0)$=$f^{\prime }({\xi }_1)h$,${\xi }_1=x_0+{\theta }_{1}h$,${\theta }_1\in (0,1)$
    • $f(x_0)-f(x_0-h)$=$f^{\prime }({\xi }_2)h$,${\xi }_2=x_0-{\theta }_{2}h$,${\theta }_2\in (0,1)$
  • 两式相加减得$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)$=$[f^{\prime }({\xi }_1)-f^{\prime }({\xi }_2)]h$,(1)
  • 对区间$[{\xi }_2,{\xi }_1]$上在利用Lagrange中值公式,得$f^{\prime }({\xi }_1)-f^{\prime }({\xi }_2)$=$f^{\prime \prime }(\xi )({\theta }_1+{\theta }_2)h$,(2)
    • 两边同时乘以$h$,得$[f^{\prime }({\xi }_1)-f^{\prime }({\xi }_2)]h$=$f^{\prime \prime }(\xi )({\theta }_1+{\theta }_2)h^2$(3),$(\xi \in ({\xi }_2,{\xi }_1))$
    • 比较(1)式,可知$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)$=$f^{\prime \prime }(\xi )({\theta }_1+{\theta }_2)h^2$
    • 由假设条件$f^{\prime \prime }(\xi )>0$,又${\xi }_1+{\xi }_2\in (0,2)$,$h>0$可知$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)>0$
    • 即$\frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)}{2}>f(x_0)$,代入式(0),得$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2})$
• 类似可以证明情形2

凹凸性和单调性无必然关系

• 函数凹凸性和单调性没有必然关系,即一阶导数的符号和二阶导数的符号可能不同
• 例如
  • $y=-x^2,x\in (0,+\infty )$(递减凸函数)
  • $y=\sqrt{x},x\in (0,+\infty )$(递增凸函数)
  • $y=e^x$,(递增凹函数)
  • $y=\frac{1}{x}$(递减凹函数)

拐点

• 连续曲线$y=f(x)$上的凹,凸弧的分界点称为该曲线的拐点
• 更严格的描述:一般地,设$y=f(x)$在区间$I$上连续,$x_0\in I$,若曲线$y=f(x)$在经过点$(x_0,f(x_0))$时,曲线的凹凸性发生改变,则$(x_0,f(x_0))$称为曲线的拐点

寻找拐点👺

• 求$f^{\prime \prime }(x)$
• 令$f^{\prime \prime }(x)=0$,求解出该方程在区间$I$内的实根,这些实根构成集合A
• 求解区间$I$内$f^{\prime \prime }(x)$不存在的点(假设这样的点是有限个的),这些点构成集合$B$
• 令$S=A\cup B$,则对每个$S$中的元素$x_i$,检查$f^{\prime \prime }(x)$在$x_i$两侧邻近的符号,若异号,则$P(x_0,f(x_0))$是拐点,若同号,则$P$不是拐点

函数图形的绘制

• 借助微分学的方法比较准确的绘制函数图形
  • 借助一阶导数可以确定函数在定义域内的单调性,某点处的一阶导数的绝对值$|f^{\prime }(x_0)|$越大,说明该处变化率越大,$x_0$附近越陡峭
  • 进一步地,借助二阶导数,可以确定函数在定义域内凹凸性
• 仅知道区间内的单调性难以体现一些细节,若知道凹凸性,可以得出曲线的陡峭程度的变化趋势(二阶导数刻画的是一阶导数,若一阶,二阶导数都大于0,说明一阶导数递增,随着$x$增大,图形曲线会越来越陡峭;
  • 对于给定的一个函数图形,我们也可以一般的分析其二阶导数在某个区间内的正负,从指定区间$[a,b]$的左端点开始在$x\to b$的过程中,若切线斜率越来越大,则二阶导是大于0的;反之,则二阶导小于0
  • 二阶导数与物体运动
    • 例如$v=s_t^{{}^{\prime }}$,$a=v_t^{\prime }$=$s_t^{\prime \prime }$即位移对时间求导得到某个时刻的速度(大小和方向),速度对时间求导,得到某个时间的加速度
• 函数图形分析和绘制步骤
  • 确定函数$y=f(x)$的定义域$D_f$
    • 对于多项式函数,可尝试因式分解确定零点
  • 分析函数是否有奇偶性和周期性
    • 周期性一般对三角函数比较重要
  • 求函数$f(x)$的一阶,二阶导数$f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x)$
  • 求出$f^{\prime }(x)$,$f^{\prime \prime }(x)$在$D_f$内的全部零点和不存在的点(无定义点),它们构成集合S
    • $f^{\prime }(x)$的零点和不存在点包含所有潜在的极值点(相邻区间内单调性可能相同)
    • $f^{\prime \prime }(x)$的零点和不存在点包含所有来找出潜在的拐点
    • Note:
      • 对于多项式函数而言,不存在不可导点,只需要关心零点即可
  • 根据集合S中的$N=|S|$个点构成$N=|S|+1$个区间
  • 分别确定$N$个区间内$f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x)$的符号,并由此确定函数图形的升降,凹凸和拐点
  • 确定函数图形的水平,铅直渐近线等变换趋势
  • 计算$S$中的各个点的函数值,得到点$(x_i,f(x_i))$,$x_i\in S,i=1,2,\cdots ,n$
  • 用适当的曲线来连结这些图形在坐标上的点

例

• $y=x^3-x^2-x+1$的图形

  • 函数定义域为$(-\infty ,+\infty )$
  • $f^{\prime }(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$;零点为$-\frac{1}{3}$,$1$
  • $f^{\prime \prime }(x)=6x-2=2(3x-1)$;零点为$\frac{1}{3}$

• 将上述求得的零点划分区间:$(-\infty ,-\frac{1}{3})$,$[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$,$[\frac{1}{3},1]$,$[1,+\infty )$

• $x$	$(-\infty ,-\frac{1}{3})$	$-\frac{1}{3}$	$[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$	$\frac{1}{3}$	$[\frac{1}{3},1]$	$1$	$[1,+\infty )$
  $f^{\prime }(x)$	+	0	-	-	-	0	+
  $f^{\prime \prime }(x)$	-	-	-	0	+	+	+
  $y=f(x)$的图形	增凸	局部最高点	减凸	拐点	减凹	局部最低点	增凹

  分析各个区间内函数的$f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x)$的符号

• 函数没有渐进线,$y\to +\infty (x\to +\infty )$;$y\to -\infty (x\to -\infty )$

• 适当计算局部最高点和局部最低点以及坐标轴交点

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