1 问题

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

2 答案

这题直接不会

官方解

1. 排列组合，机器到底右下角，向下几步，向右几步都是固定的。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
            return int(math.factorial(m+n-2)/math.factorial(m-1)/math.factorial(n-1))  # math.factorial(m+n-2) 为 m+n-2 的阶乘

2. 动态规划
   令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径
   则动态规划转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]（左边一格的最多路径+上面一格的最多路径）

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1]*n] + [[1]+[0] * (n-1) for _ in range(m-1)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

优化，动态规划转移方程：dp[i]+=dp[i-1]

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        cur = [1] * n  # 代表第一行
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] += cur[j-1]  # 代表这个位置上一行的数据，又上一行到这行只有一种路径，因此只需要再加上左侧右移的路径便可以
        return cur[-1]