题目地址leetcode10

本题的解题思路

题目中的匹配是一个逐步匹配的过程，我们每次从字符串p中取一个字符出来，有两种可能，一种是取出来字母字符或者‘.’，另外一种是取出来[字符+‘*’]组合，他可以在s中匹配任意自然数个字符，并不具备唯一性，因此我们可以考虑使用动态规划，对匹配的方案进行枚举。

• 如果 $p$ 的第 $j$ 个字母是小写字母，那么我们必须在 $s$ 中匹配一个相同的小写字母

我们用 $f[i][j]$ 表示 $s$ 的前 $i$ 个字符与 $p$ 中的前 $j$ 个字符是否可以匹配，那么就有状态转移方程

• 如果 $p$ 的第 $j$ 个字母是 $\ast$，那么我们可以匹配多次

匹配零次的话有（也就是我们没有匹配任何字符）
$$f[i][j]=f[i][j-2]$$
匹配一次
$$f[i][j]=f[i-1][j-2],ifs[i]=p[j-1]$$
匹配两次
$$f[i][j]=f[i-2][j-2],ifs[i-1]=s[i]=p[j-1]$$
匹配三次
$$f[i][j]=f[i-3][j-2],ifs[i-2]=s[i-1]=s[i]=p[j-1]$$
这里我个人理解起来是有点困难的，为什么匹配一次的话，状态转移就是$i$向前移一位呢，不应该是向后匹配嘛，其实这里是因为我的思维和深度优先搜索有点混淆了，这里我们只考虑状态转移，只考虑马尔科夫决策过程，这样想的话就是想的通了。

但是这样依旧麻烦，因为我需要枚举到底要匹配多少字符，导致时间复杂度升高，其实本质上只有两种情况

(1) 匹配 $s$ 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配；

(2) 不匹配字符，将该组合扔掉，不再进行匹配。

所以写出状态转移方程

这里是很巧妙的，如果s的前$i-1$位字符和p的前$j$位字符可以匹配的话，那么这一位可以匹配就可以

如果s的前$i$位字符和p的前$j-2$位字符可以匹配的话，那么这一位也可以匹配

• 在任意情况下，只要 $p[j]$是‘.’，那么 $p[j]$是一定成功匹配$s$中的任意一个小写字母，最终状态转移方程为

其中matches(x,y) 判断两个字符是否匹配的辅助函数。只有当y是’.'，或者x和y本身相同时，这两个字符才会匹配。

动态规划的边界条件为 $f[0][0]=true$，即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为$f[m][n]$，其中$m$和$n$分别是字符串s和p的长度。由于大部分语言中，字符串的字符下标是从0开始的，因此在实现上面的状态转移方程时，需要注意每一维下标与实际字符下标的对应关系。

在上面的状态转移方程中，如果字符串p中包含一个「字符 + 星号」的组合，那么在进行状态转移时，会先将a进行匹配，再将a*作为整体进行匹配，这样做看起来像是将a多进行了一次状态转移，实际上是这样吗？答案是：不是。为什么呢，因为无论a匹配的对或错，这一次的状态转移结果在后面的运算中都没有用到。

整体代码

class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size();
        int n = p.size();
        
        // 这里的matches函数像是lambda表达式，他是一个函数，执行下面的程序
        // ()小括号中是形参列表；{}括号中是函数体，因为是定义函数,大括号后面记得加 ; 分号。
        auto matches = [&](int i, int j) {
            if (i == 0) {
                return false;
            }
            if (p[j - 1] == '.') {
                return true;
            }
            return s[i - 1] == p[j - 1];
        };

        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (p[j - 1] == '*') {
                    f[i][j] |= f[i][j - 2];
                    if (matches(i, j - 1)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j];
                    }
                }
                else {
                    if (matches(i, j)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j - 1];
                    }
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

总结：动态规划的精髓状态转移，这个题也是这样的，下一个状态只与上一个状态有关

ps：数学公式的支持有点差