微积分 - 泰勒公式

news2024/9/24 17:10:43

1、简介

泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值，

所以泰勒公式是做什么用的？

简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

2、近似计算举例

初等数学已经了解到一些函数如：的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以 $f(x) = cos(x)$ 的近似计算为例：

2.1 重访线性化

在点 (a,f(a)) 附近，与曲线y = f(x) 最近似的直线方程是什么？答案是所求直线为曲线上点 (a,f(a))处的切线，他的方程为： $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ 这就是 f 在 x = a 的线性化，右边是次数为1的多项式，下图给出了曲线 $y = cos(\theta )$ 在 $\theta = 0$ 的切线，看起来不像是整个曲线的近似

2.2 二阶近似

为什么只讨论直线那？我们来看看抛物线：在点 (a,f(a)) 附近，与曲线y = f(x) 最近似的二次曲线方程是什么？采用相同的函数，下图是二次曲线可能的样子。

事实上，在x接近于a时，最近似于曲线的二次曲线方程为： $y = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$

他其实是一个关于x的二次函数，因为若，展开 $(x-a)^2$ ,则x的最高次项为 $x^2$ ,这里仍保留了相同的形式，我们称该二次函数为 $P_2$ 即:

$P_2 = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$

2.3 高阶近似

我们继续以相同形式讨论，只不过这里的用任意次N代替1或2.问题：对于a附近的x那个次数为N或更低的多项式最近似f(x)?答案由下面的定理给出。

$P_N = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + .... + \frac{f^{(N)}(a)}{N!}(x-a)^N$

在这里大家可能会有很多疑问，比如为什么每次要除以N！，这是因为在每多求一次导数，就会有一个N乘，所以要除去这个影响。

3、泰勒公式的定义

所以我们就得到了泰勒公式的定义：

如果函数 f(x)在含 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到 (n+1) 阶导数，则对 ∀x∈(a,b)，有

$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ....... + \frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$

其中余项 (即误差) $R_n(x) = \frac{ f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ ， ξ 在 x0 与 x 之间。泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶，n变为n+1。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。