基于数字三角形问题扩展

$参考闫氏 d p 分析法$

方格取数

$f [i 1] [j 1] [i 2] [j 2] 表示（ 1, 1 ）到（ i 1, j 1 ）和（ 1, 1 ）到 (i 2, j 2) 和的最大值$
$利用最后一步不同的思想，找个集合可以由四种状态转移过来$
$分别是 (i 1, j 1) 由 (i 1 - 1, j 1) 向下得来或者 (i 1, j 1 - 1) 向右得来的两种情况和 (i 2, j 1) 分别由 (i 2 - 1, j 2), (i 2, j 2 - 1) 两种情况组合而成$
$这个题还有个限制就是每个方格只能取一次，所有 (i 1, j 1), (i 2, j 2) 到了相同的点只需要加一次权值$

四维代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 12;

int n, x, y, c;

int f[N][N][N][N];

int w[N][N];

int main(){
    
    cin >> n;
    
    while((cin >> x >> y >> c), (x && y && c)){
        w[x][y] = c;
    }
    
    for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
    {
        for(int j1 = 1; j1 <= n; j1 ++)
        {
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                for(int j2 = 1; j2 <= n; j2 ++)
                {
                    int &v = f[i1][j1][i2][j2];
                    v = f[i1-1][j1][i2-1][j2] + w[i1][j1];
                    v = max(f[i1][j1-1][i2-1][j2] + w[i1][j1], v);
                    v = max(f[i1-1][j1][i2][j2-1] + w[i1][j1], v);
                    v = max(f[i1][j1-1][i2][j2-1] + w[i1][j1], v);
                    if(i1 != i2 && j1 != j2)
                    {
                        v += w[i2][j2];
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n][n][n][n];
    return 0;
    
}

$四维的 f [i 1] [j 1] [i 2] [j 2] 是 (1, 1) (1, 1) 到 (i 1, j 1) (i 2, j 2) 路线的集合$
$我们发现重合点一定是偏移量相同时 (i 1 + j 1 == i 2 + j 2) 才可能重合$
$上面那个思路 i 1 + j 1 和 i 2 + j 2 是没关系的，但我们可以加一个 k 当作偏移量$
$k = i 1 + j 1 = i 2 + j 2$
$这样 f [k] [i 1] [i 2] 就相当于偏移量相同的 (1, 1) (1, 1) 到 (i 1, k - i 1) (i 2, k - i 2)$
$这样我们就实现了代码的优化$
三维代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, x, y, c;

int f[N][N][N];

int w[N][N];

int main(){
    
    cin >> n;
    
    while((cin >> x >> y >> c), (x && y && c)){
        w[x][y] = c;
    }
    
    //k是x+y的偏移量(i1,j1),(i2,j2)都是k偏移量时的最大和
    for(int k = 2; k <= n << 1; k ++)
    {
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
        {
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1;
                int j2 = k - i2;
                if(j1 >=1 && j1 <= n && j2 >=1 && j2 <= n)
                {
                    int &v = f[k][i1][i2];
                    int tem = w[i1][j1];
                    v = max(v, f[k-1][i1-1][i2-1] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1][i2] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1][i2-1] + tem);
                    v = max(v, f[k-1][i1-1][i2] + tem);
                    
                    if(i1 != i2) v += w[i2][j2];
                }
            }
        }
    }
    
    cout << f[2*n][n][n] << endl;
    return 0;
    
}