文章目录
- 647. 回文子串
- 思路
- 暴力解法
- 动态规划五部曲
- 516. 最长回文子序列
- 思路
- 动态规划五部曲
647. 回文子串
力扣题目链接
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
思路
注意这道题要求的子串是要由连续的字符组成
暴力解法
两层for循环，一个遍历子串起始位置，一个遍历终止位置，找出所有可能的子串，然后判断是不是回文的。
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
- 确定递推公式
分为两种情况讨论：
- 当
s[i]与s[j]不相等
头尾两个字符不相等，那肯定的不是回文串，此时dp[i][j] = false
- 当
s[i]与s[j]相等时- 情况一：下标
i与j相同，即同一个字符，例如a，必然是回文子串，此时dp[i][j] = true - 情况二：下标
i与j相差为1，即字符串由两个相同的字符组成，例如aa，必然是回文子串，此时dp[i][j] = true - 情况三：下标
i与j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，再看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是i+1与j-1区间，即判断dp[i + 1][j - 1]是否为true。
- 情况一：下标
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) {
res++;
dp[i][j] = true;
}else if (dp[i + 1][j - 1] == true) {
res++;
dp[i][j] = true;
}
}
result就是统计回文子串的数量。
注：这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
- dp数组如何初始化
dp[i][j]刚开始是不知道是否回文的，所以dp[i][j]都初始化为false。
- 确定遍历顺序
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据**dp[i + 1][j - 1]**是否为true，再对dp[i][j]进行赋值的。
这两个式子的相对位置如下：
发现dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。这样计算i的时候才能预先得到i+1的值。
// 记住从下往上，从左往右
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
- 举例推导dp数组
用示例二举例，输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注：因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
完整代码：
public int countSubstrings(String s) {
boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
int res = 0; // 记录回文子串总数
// 记住从下往上，从左往右
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) {
res++;
dp[i][j] = true;
}else if (dp[i + 1][j - 1] == true) {
res++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return res;
}
516. 最长回文子序列
力扣题目链接
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
示例 1：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。
思路
注意这里的子序列只用满足相对顺序，不用连续
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
- 确定递推公式
和上一题一样，同样是两个情况
-
如果
s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那我们就考虑是留下果s[i]还是s[j]继续找回文子串-
留下
s[i]，去掉s[j]找回文子序列，此时dp[i][j] = dp[i][j - 1]
-
留下
s[j]，去掉s[i]找回文子序列，此时dp[i][j] = dp[i + 1][j]
-
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
-
如果
s[i]与s[j]相同 -
- 如果
i == j，即字符串长度为1，一定是回文子串，dp[i][j] = 1； - 如果
j - i == 1，即字符串由两个相同的字符组成，一定是回文子串，dp[i][j] = 2； - 如果
j - i >1，这时候我们要看里面子串的最长回文子序列长度，如果里面也是回文，那么就最后要加上s[i]与s[j]这两个字符，如下图，所以dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2；
- 如果
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) { // 情况一二
dp[i][j] = j - i + 1;
}else { // 情况三
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}
} else { // s[i]和s[j]不等
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
}
- dp数组如何初始化
一开始不知道范围内存不存在回文子序列，所以全部初始化为0
- 从递推公式
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2和dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1]和dp[i + 1][j]
所以遍历i的时候一定要从下到上，从左到右遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的。
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
- 举例推导dp数组
以示例二为例，输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：
完整代码：
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) { // 情况一二
dp[i][j] = j - i + 1;
}else { // 情况三
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}
} else { // s[i]和s[j]不等
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
}
}
}
return dp[0][s.length() - 1];
}
