题目

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

力扣：题目链接

方法1：动态规划

完全不了解动态规划？

动态规划三步走

动态规划，就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤，

1.定义dp数组

我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？

2.找出递推关系式

动态规划类似于高中数学的数学归纳法，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2]…..dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。

3.找出初始值

找出了递推公式，我们还需要初始值，因为递推公式就是靠前面的值推出后面的值，但总得有个头吧，这个头就是初始值。

提示

代码如何排错？将dp数组全部输出看看

对动态规划完全不会的同学可以先去做下面两道动态规划入门题

【LeetCode-简单】509. 斐波那契数（详解）

【LeetCode-简单】70. 爬楼梯（详解）

1.dp[i]:正整数 i 拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积

2.递推关系：

当 i ≥ 2 时，假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1≤j<i），则有以下两种方案：

将 i 拆分成 j 和 i-j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j×(i−j)；

将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j×dp[i−j] 。

因此，当 j 固定时，有 dp[i]=max(j×(i−j),j×dp[i−j])。由于 j 的取值范围是 1 到 i−1 ，需要遍历所有的 j 得到 dp[i]的

3.初始值：0 不是正整数，1 是最小的正整数，0 和 1 都不能拆分，因此 dp[0]=dp[1]=0

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
            //dp数组：正整数 i 拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积
            int dp [] = new int[n+1];
            //dp数组初始化
            dp[2] = 1;
            for (int i = 3; i <= n ; i++) {
                //将i拆分成 i - j 和 j ，或者 拆成 dp[j] 和 i-j ，
                //上面的dp[j]就是把j拆分之后相乘的最大值
                //然后再将j变小，循环执行拆j，最后dp[i]保存最大值
                for (int j = i-1; j >= 1; j--) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i - j) * j, dp[j] * (i - j)));
                }
            }
            return dp[n];
    }
}

这道题动态规划还是有难度的

方法2：数学

思路：

求函数y=(n/x)^x(x>0)的最大值，可得x=e时y最大，但只能分解成整数，故x取2或3，

由于6=2+2+2=3+3，显然2^3=8<9=3^2

故应分解为多个3

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if(n == 2)
            return 1;
        if(n == 3)
            return 2;
        int a = 1;
        while(n > 4){
            n = n - 3;
            a = a * 3;
        }
        return a * n;
    }
}