1. 题目
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
2. 输入输出样例
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000text1和text2仅由小写英文字符组成。
3. 解题思想
动态规划步骤：
（1）dp状态：
dp[i][j]表示以text1[i]、text2[j]为结尾的两个字符串中最长公共子序列的长度；
（2）状态转移方程：
text1[i] == text2[j]：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
text1[i] != text2[j]：max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
（3）初始化状态：
第0行第0列：text1[0] == text2[0]：dp[0][0] = 1；text1[0] != text2[0]：dp[0][0] = 0;
第0行：text1[i] == text2[0]：dp[i][0] = 1；text1[i] != text2[0]：dp[i][0] = dp[i - 1][0];
第0列：text1[0] == text2[i]：dp[0][1] = 1；text1[0] != text2[i]：dp[0][i] = dp[0][i-1];
（4）最优解：
dp[n-1][m-1] ；
算法描述：
核心思想是通过填充 dp 数组，逐步构建最长公共子序列的长度，考虑字符是否匹配。
- 首先，获取输入字符串
text1和text2的长度，并创建一个二维数组dp，其大小为(n+1) x (m+1)，其中n和m分别是两个字符串的长度。dp[i][j]表示text1的前i个字符和text2的前j个字符的最长公共子序列的长度。- 初始化
dp数组的第一行和第一列：遍历两个字符串的首字符，如果它们相等，将dp[0][0]设置为1，否则将其保留为0。接着，初始化第一行和第一列的其余部分，以表示以text1[0]或text2[0]开头的子序列。- 使用两个嵌套循环遍历
text1和text2的每个字符（除去第一个字符），填充dp数组。如果当前字符相同（text1[i] == text2[j]），则将dp[i][j]设置为左上角的对角元素值加1，表示找到了一个更长的公共子序列。如果当前字符不同，将dp[i][j]设置为左边或上边的较大值，表示要么继承左边的最长子序列长度，要么继承上边的最长子序列长度。- 最终，
dp[n-1][m-1]中存储的值即为text1和text2的最长公共子序列的长度。
4. 代码实现
// 定义一个函数，该函数返回两个整数指针中的较大值
int max_(int *a, int *b) {
// 比较两个指针的值，返回较大的指针
if (a > b) {
return a;
}
return b;
}
// 定义一个计算两个字符串的最长公共子序列的函数
int longestCommonSubsequence(char *text1, char *text2) {
// 获取字符串text1和text2的长度
int n = strlen(text1);
int m = strlen(text2);
// 创建一个二维数组dp，用于存储最长公共子序列的长度
int dp[n][m];
// 初始化dp数组，将所有元素设置为0
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
dp[i][j] = 0;
}
}
// 初始化dp数组的第一个元素
if (text1[0] == text2[0]) {
dp[0][0] = 1;
}
// 处理第一列，初始化以text1[0]为开头的子序列
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (text1[i] == text2[0]) {
dp[i][0] = 1;
} else {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
}
}
// 处理第一行，初始化以text2[0]为开头的子序列
for (int i = 1; i < m; i++) {
if (text1[0] == text2[i]) {
dp[0][i] = 1;
} else {
dp[0][i] = dp[0][i - 1];
}
}
// 填充dp数组的其余部分，找到最长公共子序列的长度
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
if (text1[i] == text2[j]) {
// 如果字符相同，将dp[i][j]设置为左上角值加1
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
// 如果字符不相同，将dp[i][j]设置为左边和上边的较大值
dp[i][j] = max_(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
// 返回dp数组的最右下角元素，即最长公共子序列的长度
return dp[n - 1][m - 1];
}
5. 复杂度分析
时间复杂度分析：
- 初始化
dp数组的两个嵌套循环（for循环嵌套）需要遍历整个数组，时间复杂度为O(n * m)，其中 n 和 m 分别是text1和text2的长度。- 接下来，还需要一个嵌套循环来填充
dp数组，这个循环也需要遍历整个dp数组，时间复杂度为O(n * m)。- 总的时间复杂度是O(n * m + n * m)，即O(n * m)。
算法的时间复杂度是 O(n * m)，其中 n 和 m 分别是输入字符串 text1 和 text2 的长度。
空间复杂度分析：
dp数组的空间复杂度是O(n * m)，因为它是一个二维数组，其大小与输入字符串的长度相关。
综上所述，这段代码的空间复杂度是 O(n * m)，时间复杂度是 O(n * m)
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