引言

上一节介绍了基于$\text{Nesterov}$动量与$\text{RMSProp}$的融合算法，本节将介绍《深度学习(花书)》$\text{P187 8.5}$自适应学习率算法中的最后一个算法：$\text{Adam}$算法。

回顾：基于Nesterov动量的RMSProp算法

基于$\text{Nesterov}$动量的$\text{RMSProp}$算法，其特点在于：对梯度大小(学习率)与梯度方向同时优化。其对应的迭代公式表示如下：
关于动量、学习率加权平均方法的差异性描述，详见上一节链接。
$$\{\begin{array}{l}{\hat{\theta }}_t={\theta }_{t-1}+\gamma \cdot m_{t-1}\\ {\mathcal{G}}_t={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\hat{\theta }}_t)\\ {\mathcal{R}}_t=\beta \cdot {\mathcal{R}}_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t\\ \begin{array}{r}{m}_t=\gamma \cdot m_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t}}\odot {\mathcal{G}}_t\end{array}\\ {\theta }_t={\theta }_{t-1}+m_t\end{array}$$

Adam算法的简单认识

而$\text{Adam}$算法与上述算法的思想相同，即迭代过程中，对梯度大小、方向均进行优化。不同点在于：

• 无论是梯度大小(学习率)还是梯度方向，均使用指数加权移动平均法进行更新：
  $$\{\begin{array}{l}\mathcal{G}={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ m_t={\rho }_1\cdot m_{t-1}+(1-{\rho }_1)\cdot \mathcal{G}\\ {\mathcal{R}}_t={\rho }_2\cdot {\mathcal{R}}_{t-1}+(1-{\rho }_2)\cdot \mathcal{G}\odot \mathcal{G}\end{array}$$
• 使用指数加权移动平均法更新的基础上，分别对更新结果$m_t,{\mathcal{R}}_t$进行偏差修正：
  • 关于第一个公式，我们对累积梯度(向量)$m_t$进行修正，其本质是对梯度向量$\mathcal{G}$进行修正，因而称其为一阶矩偏差修正；
  • 同理，第二个公式，我们对累积梯度内积(标量)${\mathcal{R}}_t$进行修正，其本质对梯度内积$\mathcal{G}\odot \mathcal{G}$进行修正，因而称其为二阶矩偏差修正。
  • 其中$t$表示迭代步骤的编号。
    $$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{\hat{m}}_t& =\frac{1}{1-({\rho }_1{)}^t}\cdot m_t\\ {\hat{\mathcal{R}}}_t& =\frac{1}{1-({\rho }_2{)}^t}\cdot {\mathcal{R}}_t\end{array}\end{array}$$
• 最终对权重进行更新：
  该操作与$\text{AdaGrad,RMSProp}$原理相同。
  $$\begin{array}{rl}{\theta }_t& ={\theta }_{t-1}+\Delta \theta \\ & ={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{ϵ+\sqrt{{\hat{\mathcal{R}}}_t}}\cdot {\hat{m}}_t\end{array}$$

下面从个人理解的角度认知：为什么要使用一个关于迭代步骤$t$的非线性函数对一阶矩、二阶矩的偏差进行修正。

一阶矩、二阶矩修正偏差的功能

首先，从《深度学习(花书)》中关于${\rho }_1,{\rho }_2$的描述开始：

• ${\rho }_1,{\rho }_2$分别是调整当前梯度/梯度内积与历史累积梯度/梯度内积的比例因子；

• 在书中关于${\rho }_1,{\rho }_2$的初始化步骤中分别为：${\rho }_1=0.9,{\rho }_2=0.999$。可以看出：无论是梯度还是梯度内积，在迭代过程中极其依赖历史信息，而不是当前步骤信息；

  与此同时，完全可以作出${\rho }_1,{\rho }_2$固定条件下，一阶矩系数$\begin{array}{r}\frac{1}{1-({\rho }_1{)}^t}\end{array}$、二阶矩系数$\begin{array}{r}\frac{1}{1-({\rho }_2{)}^t}\end{array}$随迭代步骤$t$增长的修正变化曲线：
  
  结合上面的权重更新公式可以看出：在迭代初始的几个步骤内，给予$m_t\Rightarrow {\hat{m}}_t$较高的增长；但与此同时，同样使用较低的$\begin{array}{r}\frac{\eta }{ϵ+\sqrt{{\hat{\mathcal{R}}}_t}}\end{array}$约束${\hat{m}}_t$增长的幅度；
  虽然从图中可以看出迭代初期${\rho }_1,{\rho }_2$之间的函数结果相差几十倍，但通过$\sqrt{\cdot }$的消减，使得它们的增长与约束处于同一个量级。

很明显，这是一场对抗，但这场对抗仅仅持续了迭代初期的若干次步骤中。那么换一种思路：为什么在迭代初期的对抗最激烈$?$ 迭代初期发生了什么$?$ 不要忘记，由于${\rho }_1,{\rho }_2$取值的原因，导致整个迭代过程都非常依赖历史信息，并且初始点通常是随机初始化的，也就是说：初始位置的梯度信息是不确定、不稳定的；

而初始的几次迭代步骤，可能会出现大幅度的折叠、震荡，而这种变化剧烈的梯度若累积在历史梯度/历史梯度内积中，会导致后续的迭代不稳定。虽然这种不稳定被系数$\begin{array}{r}\frac{1}{1-({\rho }_1{)}^t}\end{array}$小规模放大，但同样被强劲的系数$\begin{array}{r}\frac{1}{ϵ+\sqrt{{\mathcal{R}}_t}}\end{array}$压制，使其虽然梯度方向震荡的很厉害(梯度方向较大)，但这种状态没有办法移动较大的步长(梯度大小较小)，从而压制住震荡的产生。

该部分更多是对算法的个人理解，不否认，我们可以尝试修改${\rho }_1,{\rho }_2$的值，但需要知道的是：两者之间的取值存在一种均衡关系。

Adam的算法过程描述

基于$\text{Adam}$的算法步骤表示如下：
初始化操作：

• 学习率$\eta$；一阶矩、二阶矩衰减速率${\rho }_1,{\rho }_2\in [0,1)(0.9,0.999)$；
• 超参数$ϵ=10^{-8}$；初始权重参数$\theta$；初始化迭代步骤$t=0$；
• 初始化历史累积梯度$m=\mathcal{O}$($\mathcal{O}$表示零向量)；初始化历史累积梯度内积$\mathcal{R}=0$；

算法过程：

• $\text{While}$没有达到停止准则 $\text{do}$
• 从训练集$\mathcal{D}$中采集出包含$k$个样本的小批量：$\{(x^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1}^k$；
• 计算当前迭代步骤参数$\theta$的梯度信息$\mathcal{G}$：
  $$\mathcal{G}\Leftarrow \frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{\nabla }_{\theta }\mathcal{L}[f(x^{(i)};\theta ),y^{(i)}]$$
• 迭代步骤$t\Leftarrow t+1$；
• 使用指数加权移动平均法对历史累积梯度$m$进行更新：
  $$m\Leftarrow {\rho }_1\cdot m+(1-{\rho }_1)\cdot \mathcal{G}$$
• 使用指数加权移动平均法对历史累积梯度内积$\mathcal{R}$进行更新：
  $$\mathcal{R}\Leftarrow {\rho }_2\cdot \mathcal{R}+(1-{\rho }_2)\cdot \mathcal{G}\odot \mathcal{G}$$
• 对历史累积梯度$m$进行偏差修正：
  $$\hat{m}\Leftarrow \frac{1}{1-({\rho }_1{)}^t}\cdot m$$
• 对历史累积梯度内积$\mathcal{R}$进行偏差修正：
  $$\hat{\mathcal{R}}\Leftarrow \frac{1}{1-({\rho }_2{)}^t}\cdot \mathcal{R}$$
• 计算当前迭代步骤权重参数的更新量$\Delta \theta$：
  标量乘向量，即向量中的每一个分量均乘一个$\begin{array}{r}-\frac{\eta }{\sqrt{ϵ+\hat{\mathcal{R}}}}\end{array}$
  $$\Delta \theta =-\frac{\eta }{\sqrt{ϵ+\hat{\mathcal{R}}}}\cdot \hat{m}$$
• 应用更新：
  $$\theta \Leftarrow \theta +\Delta \theta$$
• $\text{End While}$

Adam示例代码

依然使用凸函数$f(x)=x^T\mathcal{Q}x;x=(x_1,x_2{)}^T;\mathcal{Q}=\left(\begin{array}{c}0.50\\ 020\end{array}\right)$作为目标函数，观察其迭代过程。对应代码表示如下：
复制粘贴过来的，哈哈~

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm

def f(x, y):
    return 0.5 * (x ** 2) + 20 * (y ** 2)

def ConTourFunction(x, Contour):
    return math.sqrt(0.05 * (Contour - (0.5 * (x ** 2))))

def Derfx(x):
    return x

def Derfy(y):
    return 40 * y

def DrawBackGround():
    ContourList = [0.2, 1.0, 4.0, 8.0, 16.0, 32.0]
    LimitParameter = 0.0001
    for Contour in ContourList:
        # 设置范围时，需要满足x的定义域描述。
        x = np.linspace(-1 * math.sqrt(2 * Contour) + LimitParameter, math.sqrt(2 * Contour) - LimitParameter, 200)
        y1 = [ConTourFunction(i, Contour) for i in x]
        y2 = [-1 * j for j in y1]
        plt.plot(x, y1, '--', c="tab:blue")
        plt.plot(x, y2, '--', c="tab:blue")

def Adam():
    def DeviationCorrection(Input,RhoParameter,Step):
        if type(Input) == tuple:
            Res = (Input[0] / (1 - (RhoParameter ** Step)),Input[1] / (1 - (RhoParameter ** Step)))
            return Res
        else:
            return Input / (1 - (RhoParameter ** Step))

    Start = (8.0, 1.0)
    LocList = list()
    LocList.append(Start)
    StartMomentum = (0.0, 0.0)
    R = 0.0
    Eta = 0.3
    Step = 0
    Rho1 = 0.9
    Rho2 = 0.999
    Epsilon = 0.00000001
    Delta = 0.1

    while True:
        DerStart = (Derfx(Start[0]),Derfy(Start[1]))
        Step += 1

        UpdateMomentum = ((Rho1 * StartMomentum[0]) + ((1 - Rho1) * DerStart[0]),
                          (Rho1 * StartMomentum[1]) + ((1 - Rho1) * DerStart[1]))
        InnerProduct = (DerStart[0] ** 2) + (DerStart[1] ** 2)
        
        DecayR = R * Rho2
        R = DecayR + ((1.0 - Rho2) * InnerProduct)
        CorrectionMomentum = DeviationCorrection(UpdateMomentum,Rho1,Step)
        CorrectionR = DeviationCorrection(R,Rho2,Step)

        UpdateMessage = (-1 * (Eta * CorrectionMomentum[0]) / (math.sqrt(CorrectionR) + Epsilon),
                         -1 * (Eta * CorrectionMomentum[1]) / (math.sqrt(CorrectionR) + Epsilon))
        Next = (Start[0] + UpdateMessage[0],Start[1] + UpdateMessage[1])
        DerNext = (Derfx(Next[0]),Derfy(Next[1]))

        if math.sqrt((DerNext[0] ** 2) + (DerNext[1] ** 2)) < Delta:
            break
        else:
            LocList.append(Next)
            StartMomentum = UpdateMomentum
            Start = Next
    return LocList

def DrawPicture():
    NesterovRMSPropLocList = Adam()
    plt.figure(figsize=(10,5))
    NesterovRMSPropplotList = list()
    DrawBackGround()
    for (x, y) in tqdm(NesterovRMSPropLocList):
        NesterovRMSPropplotList.append((x, y))
        plt.scatter(x, y, s=30, facecolor="none", edgecolors="tab:red", marker='o')
        if len(NesterovRMSPropplotList) < 2:
            continue
        else:
            plt.plot([NesterovRMSPropplotList[0][0], NesterovRMSPropplotList[1][0]], [NesterovRMSPropplotList[0][1], NesterovRMSPropplotList[1][1]], c="tab:red")
            NesterovRMSPropplotList.pop(0)
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    DrawPicture()

对应图像结果表示如下：

关于${\rho }_1,{\rho }_2$的取值情况，为了保证它们之间的均衡关系，在取值过程中需要注意一下。例如：${\rho }_1=0.3,{\rho }_2=0.9$对应的函数图像结果表示如下：
因为这个凸函数示例过于简单，大家可以试一试其他的参数组合方式~

至此，深度学习中的优化方法暂时告一段落。

$\text{Reference}$：
《深度学习(花书)》$\text{P189 8.5.3 Adam}$