微积分 - 对数函数与指数函数的导数

news2024/11/19 9:23:20

指数法则

$b^{0} = 1$
$b^{1} = b$
$b^{x+y} = b^xb^y$
$\frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
$(b^x)^y = b^{xy}$

对数法则

$log_{b}(1) = 0$
$log_{b}(b) =1$
$log_{b}(xy) = log_{b}(x) + log_{b}(y)$
$log_{b}(x/y) = log_{b}(x) - log_{b}(y)$
$log_{b}(x^y) = ylog_{b}(x)$
换底法则：对于任意的底数b>1和c>1以及任意的数x>0有： $log_{b}(x) = \frac{log_{c}(x)}{log_{c}(b)}$

对数函数和指数函数求导

令 $g(x) = log_{b}(x)$ ,那么g的导数是什么？使用导数的定义我们得到：

$g'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_{b}(x+h)-log_{b}(x)}{h}$

我们如何来简化这个杂乱的公式呢？当然是使用对数法则了，首先利用对数法则4将对数的差简化成对数的商：

$g'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_{b}(x+h)-log_{b}(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}log_{b}\frac{x+h}{x}$

再利用对数法则5将因子1/h提至指数位置：

$g'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}log_{b}\frac{x+h}{x} = \lim_{h\rightarrow 0}log_{b}(1+\frac{h}{x}) ^{\frac{1}{h}}$

现在让我们先忽略 $log_{b}$ ,当h趋于0时会怎么样？也就是说： $\lim_{h \to 0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}$

根据e的定义那章的内容（没看过的可以去找）我们可以推导出： $\lim_{h \to 0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}$

所以带入到原本的公式可以得到： $g'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}log_{b}(1+\frac{h}{x}) ^{\frac{1}{h}} = log_{b}(e^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x}log_{b}e$

假设令b = e 则有： $g'(x) = \frac{1}{x}log_{e}e = \frac{1}{x}$

由此我们也知道了 $log_ex$ 的倒数就是 $\frac{1}{x}$ 也即 $\frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x}$ ，这也正是为什么以e为底的对数被称为自然对数的原因之一了。

等等我们是不是还没有解答原本的问题那？

不急这就出来了，根据对数法则6的换底法则有： $log_{b}(x) = \frac{log_{e}(x)}{log_{e}(b)} = \frac{log_{e}(x)}{ln(b)}$

于是有： $\frac{d}{dx}log_{b}(x) = \frac{1}{xlnb}$ 。

看到这里问题已经解决了，但这只是对数函数的导数，那吴彦祖可能就要问了：那指数函数的导数那？

现在看看这个：如果 $y = b^x$ ,那么我们知道 $x = log_{b}(y)$ 。现在对其关于y求导，使用上述公式并用y替代x，得到： $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{yln(b)}$ ,上下颠倒后： $\frac{dy}{dx} = yln(b)$ .

由于 $y = b^x$ ，我们就得到了指数函数的一般求导公式： $\frac{d}{dx}(b^x) = b^xln(b)$

这下各位吴彦祖就满意了吧，但是还没完，接下来的定理才是本篇文章的核心。

当b = e那: $\frac{d}{dx}(e^x) = e^xln(e) = e^x$ 且无论 $e^x$ 的几阶倒数都是一样的。

优雅吧！那下篇文章见。

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