间断点

第一类间断点

跳跃间断点

函数的跳跃间断点只和某点(比如 $x=x_0$ 处的左右极限有关,而和函数 $f (x)$ 在 $x=x_0$ 有无定义或取值都无关

可去间断点

另一个第一类间断点类别(可去间断点)
- $f(x)在x=x_0的某个去心邻域\mathring{U}(x_0,\delta)内有定义$
- $L_{x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$ 存在
  - $即:\lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=\lim_{x\to{x_0^+}}f(x)=L_{x_0}时 \\ 才有:L_{x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$
  - 往往分段函数有可能存在这类可去间断点
    - $f(x)= {\begin{cases} 1&{\text{if }}x=0, \\x^2&{\text{if }}x\neq 0. \end{cases}}$
- 且 $f(x_0)\neq{L_{x_0}}$ 或 $f(x)在x=x_0$ 处无定义,都属于可去间断点
$\lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})=A \\ \lim_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})=B \\A\neq{B}$

例

可去间断点
- $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
  - 在x=0处左右极限都为1
  - $如果补充定义 f (1) = 1$ ,则 $f (x)$ 在R上连续
跳跃间断点的案例( $x=x_0=0$ 处)
- 处处有定义,但是某点的极限不存在的案例:
- $\operatorname {sgn} (x):={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\0&{\text{if }}x=0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}$
- $\operatorname {g} (x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}$

第二类间断点

如果 $f(x)在x=x_0的某个去心邻域\mathring{U}(x_0,\delta)内有定义$
- $\lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)和\lim_{x\to{x_0^{+}}}f(x)至少有一个\huge不存在 \\ 称x=x_0为f(x)的第二类间断点$
- 第二类间断点由可以分为
  - 无穷间断点
    - 例如: $f(x)=\frac{1}{x}$
  - 振荡间断点
    - 例如: $g(x)={\sin\frac{1}{x}}$ ,在x=0处为振荡间断点
  - …

微积分定理

第一基本定理

不定积分和定积分的关系

变上限积分函数的导数

$设 f (x) 在 [a, b] 上连续$
- 积分上限的函数 $G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}$
  - $G (x) 在 [a, b] 上可导$
  - $G'(x)=\frac{d}{dx}\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=f(x),x\in[a,b]$
    - 注意到定积分下限是 $f (x)$ 的定义区间的下限a
  - 定理表明
    - $\int_{a}^{x}f(t)dt是f(x)(x\in[a<b])的一个原函数 \\\int f(x)dx=\int_{a}^{x}f(t)dt+C,(x\in[a,b])$
- 证明:
  - 可以分为三个部分进行证明(区间内部@区间左边界@区间有边界)
    - $x\in(a,b)$
    - $x = a$
    - $x = b$
  - $若x\in(a,b),且x+\Delta{x}\in(a,b) \\ 记:\Delta{G(x)}=G(x+\Delta{x})-G(x) \\=\displaystyle{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)dt}-\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} \\=\displaystyle{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} +\displaystyle{\int_{x}^{a}f(t)dt} \\=\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} \\由积分中值定理: [x,x+\Delta{x}]存在一点\xi,使得: \\ \Delta{G(x)}=\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt}=f(\xi)\Delta{x} \\ \frac{1}{\Delta{x}}\Delta{G(x)} =\frac{1}{\Delta{x}}\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} =f(\xi) \\\Delta{x}\to{0}时,x+\Delta{x}\to{x} \\又因为\xi\in{[x,x+\Delta{x}]},则\xi\to{x}(\Delta{x}\to{0})$
  - $由导数的定义(极限),将\xi视为变量 \\ G^{'}(x)=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{G(x)}}{\Delta{x}} \\=\lim_{\xi\to{x}}f(\xi) \\由于f(x)在[a,b]内是连续的,[x,x+\Delta{x}]\sub(a,b)自然也是连续的 \\根据一元连续函数的性质,那么有\lim_{\xi\to{x}}f(\xi)=f(x) \\\therefore G'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)(x\in(a,b)$
  - $\\x=a,取\Delta{x}>0;可以得到右导数G'_+(a)=f(a); \\x=b,取\Delta{x}<0;左导数:G'_-(b)=f(b) \\从而得到G'(x)=f(x)$

定积分的角度

$G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=F(x)-F(a)$
- $G'(x)=\frac{d}{dx}\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=(F(x)-F(a))'=f(x)$

原函数存在定理😊

变上限积分与原函数的关系
$设f(x)在[a,b]上连续;G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}$
- $G (x) 就是 f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数$

应用

如果 $f (x)$ 在区间 $D = [a, b]$ 上除了点 $x=x_0\in(a,b)$ 外均连续,而在 $x=x_0$ 出 $f (x)$ 有跳跃间断点:
- 记
- $F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt$
- $\forall c\in{D}$ ,均有结论
  - $F (x) 在 [a, b]$ 上连续
  - $F'(X)=f(x),x\in[a,b],x\neq{x_0}$
  - $F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^{+})$
- 例
  - $\begin{cases} \sin{x},x\leqslant{0} \\ e^x,x>0 \end{cases} \\ 记:F(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)d{t}$
  - 分段函数积分
  - $F(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)d{t}= \begin{cases} \int_{-\pi}^{x}\sin{t}dt=-\cos{x}-1(x\leqslant{0}) \\ \int_{-\pi}^{0}\sin{t}dt+\int_{0}^{x}e^tdt=-2+e^{x}-1=e^x-3(x>0) \end{cases}$

例

设 $f (x)$ 在[a,b]上连续,且 $f (x) > 0$ , $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)d{t}+\int_{b}^{x}\frac{1}{f(t)}dt$
求证
- $G'(x)\geqslant{2}$
- 方程 $G (x) = 0$ 在 $(a, b)$ 内仅有一个实根
$对 G (x)$ 两边对x求导
- $G'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)} \\由于f(x)>0 \\ 再由基本不等式得出G'(x)\geqslant{2}\sqrt{f(x)\cdot{\frac{1}{f(x)}}}=2$
- $由于G(a)=\int_{b}^{a}\frac{1}{f(t)}dt=-\int_{a}^{b}\frac{1}{f(t)}dt<0 \\ G(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt>0 \\故由零点定理知,G(x)=0在(a,b)内至少存在一个根 \\而G'(x)>0,G(x)在[a,b]上单调增加,所以G(x)=0在(a,b)内仅有一个根$

例

$\lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}d{t}\right)$
- $容易发现上述极限是\frac{0}{0}型 \\考虑使用LHopital法则 \\ 由于(可以令u=\cos{x},符合函数求导) \\ \frac{d}{dx}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}dt =-\frac{d}{dx}\int_{1}^{\cos{x}}e^{-t^2}dt \\=-\frac{d}{du}\int_{1}^{u}e^{-t^2}dt\cdot{\frac{du}{dx}} \\=-(e^{-u^2})(-\sin{x}) =\sin{x}e^{-\cos^{2}{x}}$
  - $t\in{R} \\\cos{t}\in{[-1,1]} \\ 被积分函数记为f(t)=e^{-t^2},决定了曲边梯形的曲线 \\积分上下限没有必然的大小关系 \\但有时对调调整上下限取反会更加符合习惯和直观$
- $\lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}d{t}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}e^{-\cos^2{x}}}{2x}=\frac{1}{2e}$

微积分第二基本定理

也就是赫赫有名的牛顿-莱布尼兹公式
如果 $F (x)$ 是连续函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ ,上的一个原函数
- $\int_{a}^{b}f(x)d{x}=f(x)dx=F(b)-F(a)$
根据微积分第一基本定理:
- $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$
- 是连续函数 $f (x)$ 的一个原函数
两个原函数 $F (x) - G (x)$ 在 $[a, b]$ 上必定是某个常数C
- $F(x)-G(x)=C(a\in[a,b])$
- $G (x) = F (x) + C$
$G(b)=\int_{a}^{b}f(x)dx \\ G(a)=0 \\G(b)-G(a)=G(b) \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)$
$记:\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\\int_{a}^{b}f(x)dx=\left.F(x)\right|_{a}^{b}$

变限积分求导公式

利用微积分第一基本定理以及复合函数求导准则,定积分的分段积分性质,可以得到公式
$设F(x)=\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{x}}f(t)dt$ 其中 $f (x) 在 [a, b]$ 上来连续
可到函数 $\phi_1(x)和\phi_2(x)$ 的值域在[a,b]上
- 其中一个可能是常数,一样适用
则函数 $\phi_1(x)$ 和 $\phi_2(x)$ 的公共定义域上有
$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt =f(\phi_2(x))\phi'_2(x)-f(\phi_1(x))\phi'_1(x) \\=\sum_{i=1}^{2}(-1)^{i}f(\phi_i(x))\phi_i'(x) \\展示一下抽象能力😊$
- 称 $x$ 求导变量
- 称 $t$ 为积分变量
  $\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt =\int_{\phi_1(x)}^{\xi}f(t)dt+\int_{\xi}^{\phi_2(x)}f(t)dt \\=-\int^{\phi_1(x)}_{\xi}f(t)dt+\int_{\xi}^{\phi_2(x)}f(t)dt \\(\xi\in[a,b]) \\对两边求导,可得到上述公式$

例

设 $f (x)$ 具有连续导数,求 $S=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}(x-t)f'(t)dt$
- 首先将求导变量x移出被积分函数 $(x - t) f^{'} (t)$
- $\int_{a}^{x}(x-t)f'(t)dt =\int_{a}^{x}xf'(t)dt-\int_{a}^{x}tf'(t)dt \\ =x\int_{a}^{x}f'(t)dt-\int_{a}^{x}tf'(t)dt$
  - 注意到,我们将 $\int_{a}^{x}xf'(t)dt=x\int_{a}^{x}f'(t)dt$
  - 因为求导变量对于积分变量t可以视为常数,因此利用定积分的性质,将其提取到积分号之外
- 对两边求导得到 $S=\int_{a}^{x}f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=f(x)-f(a)$