模拟滤波器的基础知识和设计

信号处理工作中滤波器的应用是非常广泛的，可以分成模拟滤波器和数字滤波器两种，数字滤波器主要包括两种，IIR和FIR，这两种滤波器后面统一说，今天先来说一说模拟滤波器（主要是我先用Python实现了Matlab书里面模拟滤波器的一些内容）。

首先，什么是滤波器，什么又是模拟滤波器？

滤波器：具有频率选择作用的电路或者运算处理系统，具有滤除噪声、分离不同信号的功能，今天主要写的是，1、巴特沃斯滤波器、2、切比雪夫滤波器，3、椭圆滤波器，4、低通到低通的频带转换

模拟滤波器：更具一组设计规范来设计模拟系统函数 $H_a(s)$ ,使其逼近某个理想滤波器的特性。

各种模拟滤波器的设计过程都是先设计出低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成其他类型模拟滤波器。

我们考虑因果系统：

$H_a(j\Omega)=\int_{0}^{\inf}h_a(t)e^{-j\omega t}dt$

其中， $h_a(s)$ 是系统的单位脉冲响应，是实函数，那么就有：

$H_a(j\Omega)=\int_{0}^{\inf}h_a(t)(\cos \Omega t-j\sin\Omega t)dt$

实际上有： $H_a(-j\Omega)=H_a^*(j\Omega)$

定义模拟滤波器的振幅平方函数为：

$A(\Omega^2)=|H_a(j\Omega)|^2=H_a(j\Omega)H_a^*(j\Omega)$

令： $s=j\Omega$

如果要系统稳定，那么 $A(\Omega^2)=A(-s^2)$

如果我们要让系统函数稳定，就应该选用 $A(-s^2)$ 在s剖面的左半平面的极点作为 $H_a(s)$ 的极点。

来看看今天的内容：

1、巴特沃斯滤波器

2、切比雪夫I型滤波器

3、切比雪夫II型滤波器

4、椭圆滤波器（考尔滤波器）

5、低通到低通的频带变换

首先，和Jupyter笔记本一样，先导入我们需要的包：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as signal

1、巴特沃斯滤波器

其振幅平方函数为：

$A(\Omega)=|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+(\frac{j\Omega}{j\Omega_c})^{2N}}=\frac{1}{1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}}$

其中，N是滤波器的阶数，N越大，带通和傣族的近似性越好，过渡带也就越陡。

tips：之前一大段时间没有更新，一个是野外没条件，另一个原因就是懒得没有好好去读Scipy.signal的文档，所以说博客有一大段时间空下来了，其实这两天再去读文档，同时对照着Matlab书里面的函数讲解，发现很多都是一样的。

MATLAB中，buttap函数用来计算N阶巴特沃斯归一化，模拟低通原型滤波器系统函数的零点、极点、增益因子的，Python也一样，返回的都是z，p，k，分别是G(p)的极点、零点、增益

我们来看一个最简单的例子：产生一个20阶低通模拟滤波器原型，表示为零极点增益形式：

[z,p,k]=signal.buttap(20)
[n,den]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[h,w]=signal.freqs(n,den)
plt.subplot(211)
plt.plot(np.abs(h))
plt.grid(True)
plt.subplot(212)
plt.plot(w)
plt.grid(True)

来看看结果：chule

说实话，除了这张图以外，其他的我都能和Matlab的对的上。

那就来看一看不同阶数下的巴特沃斯滤波器的幅频响应曲线：

n=np.linspace(0,2,200,dtype='float')
[z1,p1,k1]=signal.buttap(1)
[num1,den1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[w1,h1]=signal.freqs(num1,den1)
magh1=abs(h1)
[z2,p2,k2]=signal.buttap(3)
[num2,den2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[w2,h2]=signal.freqs(num2,den2)
magh2=abs(h2)
[z3,p3,k3]=signal.buttap(8)
[num3,den3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[w3,h3]=signal.freqs(num3,den3)
magh3=abs(h3)
[z,p,k]=signal.buttap(12)
[num,den]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[w,h]=signal.freqs(num,den)
magh=abs(h)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(magh1)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(magh2)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(magh3)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(magh)
plt.grid(True)

在已知设计参数 $\omega_p,\omega_s,R_p,R_s$ 之后，利用buttord函数可以求出所需要的滤波器的阶数和3dB截止频率：

[n,Wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

其中：

Wp:带通截止频率

Ws:带阻起始频率

Rp:通带内波动

Rs:阻带内最小衰减

1、低通滤波器：

# 采样速率为10000H在，设计一个低通滤波器，fp=2000Hz，fs=3000H在，Rp=4dB，Rs=30dB
fn=10000
fp=900
fs=600
Rp=3
Rs=20
Wp=(fp/(fn/2))
Ws=fs/(fn/2)
[n,Wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,Wn)
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,8000)
plt.subplot(211)
plt.plot(H,20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("LowPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(H,pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)

这里有个地方注意一下：Matlab和Python的signal.freqs/z两个函数的输出顺序是不同的，Matlab的输出的H和W和Python输出的H的W两者刚好调换了位置。sheshe

2、高通滤波器：

# 采样速率为10000H在，设计一高通滤波器，fp=900Hz，fs=600Hz，Rp=3dB，Rs=20dB
fn=10000
fp=900
fs=600
Rp=3
Rs=20
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Ws,Wp,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'high')
[H,F]=signal.freqz(b,a,900,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(H,20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("HighPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(H,pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)

3、带通滤波器：

fn=10000
fp=np.array([600,1700])
fs=np.array([900,1200])
Rp=4
Rs=30
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'bandpass')
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("BandPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)

4、带阻滤波器：

fn=10000
fp=np.array([600,1700])
fs=np.array([900,1200])
Rp=4
Rs=30
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'bandstop')#看到了吗，低通、高通、带通、带阻的选择方式就是这样
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("BandPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)

2、切比雪夫I型滤波器

$A(\Omega)=|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon ^2 V_N(\Omega/\Omega_c)}$

式中： $\Omega_c$ 是有效通带截止频率， $\varepsilon$ 是与通带波纹有关的参量， $\varepsilon$ 越大，波纹越大，但其范围在(0,1), $V_N$ 是N阶切比雪夫多项式：

$V_N=\left\{\begin{matrix} & cos(Narccosx),|x|\leqslant 1\\ & cosh(Narcoshx),|x|>1 \end{matrix}\right.$

这里就不写Matlab的了，直接写Python的：

[z,p,k]=signal.cheb1ap(N,rs)

n是阶数，rs是通带的幅度误差，返回值分别是滤波器的零点、极点、增益：

Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=1
rs=30
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.cheb1ord(Wp,Ws,rp,rs,'lowpass')
[z,p,k]=signal.cheb1ap(N,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,np.pi,50,dtype='float')
[h,w1]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h*wc/wp,20*np.log10(abs(w1)))
plt.grid(True)

n=np.linspace(0,4,200,dtype='float')
Rp=1
N1=1
N2=3
N3=5
N4=7
[z1,p1,k1]=signal.cheb1ap(N1,Rp)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(H1,magh1)
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.cheb1ap(N2,Rp)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(H2,magh2)
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.cheb1ap(N3,Rp)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(H3,magh3)
plt.grid(True)
[z4,p4,k4]=signal.cheb1ap(N4,Rp)
[b4,a4]=signal.zpk2tf(z4,p4,k4)
[H4,w4]=signal.freqs(b4,a4,n)
magh4=np.power(np.abs(w4),2)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(H4,magh4)
plt.grid(True)

3、切比雪夫II型滤波器

$A(\Omega)=|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon ^2 T^2_N(\Omega/\Omega_c)^{-1}}$

[z,p,k]=signal.cheb2ap(N,rs)

n是阶数，rs是通带的波动，返回值分别是滤波器的零点、极点、增益。

Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=1
rs=30
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.cheb2ap(N,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,np.pi,50,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h*wc/wp,20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)

n=np.linspace(0,4,200,dtype='float')
Rp=1
N1=1
N2=3
N3=5
N4=7
Rp=20
[z1,p1,k1]=signal.cheb2ap(N1,Rp)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(H1,magh1)
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.cheb2ap(N2,Rp)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(H2,magh2)
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.cheb2ap(N3,Rp)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(H3,magh3)
plt.grid(True)
[z4,p4,k4]=signal.cheb2ap(N4,Rp)
[b4,a4]=signal.zpk2tf(z4,p4,k4)
[H4,w4]=signal.freqs(b4,a4,n)
magh4=np.power(np.abs(w4),2)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(H4,magh4)
plt.grid(True)

4、椭圆滤波器（考尔滤波器）

这是一种带通和带阻等波纹的滤波器，在阶数相同的的条件下，有着最小的通和带阻波动，其在带通和带阻的波动相同，特点：

1、是一种零极点型滤波器，在有限频率范围内存在传输零点和极点

2、其通带和阻带都有着等波纹特性，所以通带、阻带逼近特性良好

3、在同样的性能要求下，比前两种滤波器所需要的阶数都低，而且其过渡带比较窄。

$A(\Omega)=|H_a(j\Omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon^2R^2_N(\Omega,L)}$

其中， $R_N(\Omega,L)$ 是雅各比椭圆函数，L是一个表示波纹性质的参量。

[N,wc]=signal.ellipord(wp,ws,rp,rs)

其功能是求解滤波器的最小阶数，Wp代表通带介质角频率，W是代表阻带起始角频率，Rp表示通带波纹（dB），Rs表示阻带最小衰减（dB）

[z,p,k]=signal.ellipap(N,rp,rs)

同样，求解零点、极点、增益。

Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=2
rs=25
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.ellipord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.ellipap(N,rp,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,2*np.pi,67,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h,20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)
plt.axis([0,6.5,-50,0])
plt.show()

n=np.linspace(0,2,200,dtype='float')
Rp=1
Rs=15
N1=2
N2=3
N3=5
N4=7
[z,p,k]=signal.ellipap(N1,Rp,Rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[H,w]=signal.freqs(b,a,n)
magh=np.power(np.abs(w),2)
plt.subplot(221)
plt.plot(H,magh)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z1,p1,k1]=signal.ellipap(N2,Rp,Rs)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(222)
plt.plot(H1,magh1)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.ellipap(N3,Rp,Rs)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(223)
plt.plot(H2,magh2)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.ellipap(N4,Rp,Rs)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(224)
plt.plot(H3,magh3)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)

5、低通到低通的频带变换

[b,a]=signal.lp2lp(bp,ap,Wp)

wp：模拟低通滤波器的通带截止频率

ap：归一化模拟低通滤波器的分子

bp：归一化模拟低通滤波器的分母

a：频带变换后系统函数的分子

b：频带变换后系统函数的分母

来看一个合适的切比雪夫I型滤波器，以实现低通到低通的频带变换

Wp=3*np.pi*5000
Ws=3*np.pi*13000
rp=2
rs=25
wp=1
ws=Ws/Wp
[n,wc]=signal.cheb1ord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.cheb1ap(n,wc)
[bp,ap]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[b,a]=signal.lp2lp(bp,ap,Wp)
w=np.linspace(0,3*np.pi*30000,250,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h/(2*np.pi),20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)