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F
Problem/题意
Thought/思路
Code/代码
F
Problem/题意
给一个 H * W 的矩形，在其中任意放置 K 个点，由这 K 个点构成的最小矩形带来的贡献为该矩形的面积，这 K 个点构成一种方案。
问面积的期望（总面积 / 总方案数）。
Thought/思路
很容易发现，对于这个 H * W 的矩形而言，总方案数为：。也就是说，我们只需要求出总面积即可。
对于某个最小矩形，构成它的摆放方法有很多种，也就是说，如果我们能算出一个大小为 i * j 的矩形，他有 X 种合法的摆放方案，再用合法方案数乘上该矩形的面积（即 X * i * j），就是对应的贡献。
问题就在于如何求出一个大小为 i * j 的矩形有多少种合法摆法：应用容斥原理。
简单说一下容斥原理：合法方案 = 总方案 - 非法方案。对于几个集合，求他们的并集，就应用到容斥原理：加上奇数个集合的交集，减去偶数个集合的交集。
https://blog.csdn.net/Annabel_CM/article/details/110285940
对于一个 i * j 的矩形，很容易求出总方案数，那么问题就在于求出非法方案数。
先看非法情况下的矩形有：C1、C2、C3、C4
所以现在的目的就明确了，求出 C1、C2、C3、C4 的并集，得到非法方案数，再用 i * j 的总方案数减去非法方案数，就能算出合法方案数。
那么怎么求它们的并集呢？
上面的写法中，C0 代表总方案数，[ ] 里的内容就是非法方案数。我们对每一类交集举例说明：
（1）C1： 或
（2）C1 & C2：；
（3）C1 & C3：；
（4）C1 & C2 & C3：；
（5）C2 & C3 & C4：；
（6）C1 & C2 & C3 & C4：；
把上面手写的图片中的内容，用这 6 种情况依次替换，合并同类项，就能得到下列式子：
（cnt：就是组合数 C）
接下来还剩最后一个部分，对于我们上面求出来的一种矩形的的有效摆放方法，在 H * W 中又能摆在多少个位置呢？
只需要把 i、j 距离 H、W 的距离 + 1，然后相乘，就是 i * j 这个矩形能摆放的位置数：
(H - i + 1) * (W - j + 1)
位置数 * 矩形面积（i * j）* 合法方案数，就是一个矩形 i * j 带来的贡献，遍历 H、W，求出每一种（i，j）的贡献，累加，就是最后的总贡献。
Code/代码
#include "bits/stdc++.h"
#define int long long
const int mod = 998244353;
int h, w, k, fact[1000007], invf[1000007];
int ksm(int a, int b) {
int res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
b /= 2;
}
return res;
}
int C(int x, int y) {
if (x < y) return 0;
return fact[x] * invf[y] % mod * invf[x - y] % mod;
}
signed main() {
std::cin >> h >> w >> k;
if (k == 1) {
std::cout << 1;
return 0;
}
fact[0] = 1;
invf[0] = ksm(fact[0], mod - 2);
for (int i = 1; i <= 1000005; ++ i) {
fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
invf[i] = ksm(fact[i], mod - 2) % mod;
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= h; ++ i) {
for (int j = 1; j <= w; ++ j) {
int cnt = 0;
for (int x = 0; x <= 2; ++ x) {
for (int y = 0; y <= 2; ++ y) {
cnt = (cnt + C((i - x) * (j - y), k) * (x == 1 ? -2 : 1) * (y == 1 ? -2 : 1) % mod + mod) % mod;
}
}
ans = (ans + i * j % mod * (h - i + 1) % mod * (w - j + 1) % mod * cnt % mod + mod) % mod;
}
}
std::cout << ans * ksm(C(h * w, k), mod - 2) % mod;
}
