1 卡尔曼滤波器基本原理
卡尔曼滤波常用于动态多变化系统中的状态估计，是一种通用性强的自回归滤波器。它的由来和NASA登月有关。其发明者鲁道夫.E.卡尔曼在一次访问NASA的时候，发现阿波罗计划中一个难点是轨道预测问题，因而提出了一种滤波器，可以帮助高效预测轨迹，辅助导航。NASA最终使用了这个滤波器，然后成功实现人类第一次登月计划。卡尔曼滤波器由此得名。
卡尔曼滤波器可以用来估计不确定信息，并给出状态量下一时刻的情况。即便在有噪声干扰的情况下，也可以较好的预测下一状态的情况，并找出多变量间不易察觉的相关性。因而卡尔曼滤波器可以很好适应不断变化的系统，并且内存占用量低，推理速度快，比较适合资源受限制的场景。
对于一个离散系统，其离散状态方程描述为：
其中u(k)是系统控制输入，w(k)是系统随机噪声。假设输出y(k)其测量值为z(k)。
则实施卡尔曼滤波器的步骤为：
1 初始化矩阵P,Q,R
其中P和Q是与转移矩阵A同秩的协方差方阵，R是1X1维的常量。
2 对于观测的每一拍k执行预测和更新操作：
Step1:按照状态方程计算新的状态变量X(k+1)
Step2:更新协方差矩阵P(k)
Step3:计算卡尔曼增益K(k+1）
Step4:利用测量值z(k)来更新状态变量X(k+1)
Step5:更新协方差矩阵P(k+1）
2 卡尔曼实例
假设有一辆小车，装有加速度传感器，可以测量小车的加速度a。并装有超声光学传感器，可以实时测量光从光源到达小车的时间Zt。采样时间间隔Ts，光速为c。请估计小车的速度和位置。
对于这个例子，设状态变量为位置s和速度v。设控制变量u为加速度a。输出变量设置为观测时间Zt。根据关系式：
则可以写出如下状态方程：
用Ts采样时间离散化后状态方程为：
3 Python程序实现及仿真结果
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
C = 100 # velocity of light, just a simulation value
# generate perfect acceleration and corresponding velocity and distance
# 生成没有噪声的加速度信号，并用积分计算出对应的速度和距离 ---------------------------------
N_steps = 1000 # 1000 steps to estimate
Ts = 0.05 # time interval is 0.05s
timeline = np.arange(N_steps) * Ts # \Delta t = 0.05s
accs_gt = np.sin(timeline) # set accelerator as a log shape
vels_gt = np.cumsum(accs_gt*Ts) # get the ground truth velocity;速度是加速度的积分
dists_gt = np.cumsum(vels_gt*Ts) # get the ground truth distance; 距离是速度的积分
zs_gt = dists_gt/C
#----------------------------------
# add noise to acceleration signals and calculate the velocity and distance with simple integral
# 往加速度信号添加噪声模拟真实传感器信号，并用简单的积分计算速度和距离
accs_noise_var = 0.005 # set acceleration noise variation as 0.5
accs_noise = np.random.rand(N_steps) * accs_noise_var # 注意，这里使用均匀分布模拟噪声，以模拟不知道真实噪声分布情况
accs_w_noise = accs_gt + accs_noise
vels_w_noise = np.cumsum(accs_w_noise*Ts)
# vels_w_noise = np.cumsum(accs_noise * Delta_t)
dists_w_noise = np.cumsum(vels_w_noise*Ts)
zs_noise_var = 0.001
zs_noise = np.random.rand(N_steps) * zs_noise_var # 注意，这里使用均匀分布模拟噪声，以模拟不知道真实噪声分布情况
zs_w_noise = zs_gt + zs_noise
#---------------------------------
VIS_DATA = True
if VIS_DATA:
fig = plt.figure()
ax11 = fig.add_subplot(421)
ax11.plot(timeline, accs_gt)
ax11.set_title("Acceleration Ground Truth")
ax12 = fig.add_subplot(422)
ax12.plot(timeline, accs_w_noise)
ax12.set_title("Acceleration With Noise")
ax21 = fig.add_subplot(423)
ax21.plot(timeline, vels_gt)
ax21.set_title("Velocity Ground Truth")
ax22 = fig.add_subplot(424)
ax22.plot(timeline, vels_w_noise)
ax22.set_title("Velocity With Noise")
ax31 = fig.add_subplot(425)
ax31.plot(timeline, dists_gt)
ax31.set_title("Distance Ground Truth")
ax32 = fig.add_subplot(426)
ax32.plot(timeline, dists_w_noise)
ax32.set_title("Distance With Noise")
ax41 = fig.add_subplot(427)
ax41.plot(timeline, zs_gt)
ax41.set_title("Measurment Ground Truth")
ax42 = fig.add_subplot(428)
ax42.plot(timeline, zs_w_noise)
ax42.set_title("Measurment With Noise")
# plt.show()
plt.subplots_adjust(wspace =0, hspace =0.5)#调整子图间距
# ------------------------------------------------------------------------------------------
A = np.array([
[1, Ts],
[0, 1]
]) # 状态转移矩阵
B = np.array([
[Ts**2*0.5],
[Ts]
]) # 控制转移矩阵
Q_var = 0.005
Q = np.array([
[Q_var, 0],
[0, Q_var]
]) # 预测噪声协方差矩阵
P0 = np.array([
[0.0, 0],
[0.0, 0]
]) # 状态向量协方差初始值
H = np.array([
1/C, 0
]).reshape((1,2)) # 测量转换矩阵
R_var = 0.001
R = R_var # 测量协方差矩阵，此时只有一个测量变量，因此只有一个值
x0 = np.array([
[0],
[0]
]) # 系统状态向量初始化，速度和距离均初始化为0
x_t_ = None # predicted system state vector
x_t = None # corrected system state vector
P_t_ = None # covariance matrix of predicted state vector
P_t = None # covariance matrix of corrected state vector
K = None
est_vel = [0]
est_dist = [0]
for i in range(N_steps):
if i == 0:
x_t = x0
P_t = P0
continue
u = np.array([accs_w_noise[i]])
x_t_ = A@x_t + B*u # 预测方程
P_t_ = A@P_t@(A.T) + Q # 预测状态向量的协方差矩阵
K = P_t_@H.T / (H@P_t_@H.T + R) # 卡尔曼增益
x_t = x_t_ + K*(zs_w_noise[i] - H@x_t_) # 更新方程
P_t = P_t_ - K@H@P_t_ # 更新状态向量协方差矩阵
est_vel.append(x_t[1][0])
est_dist.append(x_t[0][0])
est_vel = np.array(est_vel).reshape(-1)
est_dist = np.array(est_dist).reshape(-1)
diff_vel_est = est_vel - vels_gt
diff_dist_est = est_dist - dists_gt
diff_vel_sum = vels_w_noise - vels_gt
diff_dist_sum = dists_w_noise - dists_gt
# print(est_vel)
fig2 = plt.figure()
ax2_11 = fig2.add_subplot(231)
ax2_11.plot(timeline, est_vel)
ax2_11.set_title("Estimated velocity")
ax2_12 = fig2.add_subplot(232)
ax2_12.plot(timeline, diff_vel_est)
ax2_12.set_title("Error - Vel - KalmanFilter")
ax2_13 = fig2.add_subplot(233)
ax2_13.plot(timeline, diff_vel_sum)
ax2_13.set_title("Error - Vel - Simple integration")
ax2_21 = fig2.add_subplot(234)
ax2_21.plot(timeline, est_dist)
ax2_21.set_title("Estimated distance")
ax2_22 = fig2.add_subplot(235)
ax2_22.plot(timeline, diff_dist_est)
ax2_22.set_title("Error - Dist - KalmanFilter")
ax2_23 = fig2.add_subplot(236)
ax2_23.plot(timeline, diff_dist_sum)
ax2_23.set_title("Error - Dist - Simple integration")
plt.show()
参考：
卡尔曼滤波实战 | 形象化理解卡尔曼滤波（附源码）
