在学习本节文章前要先了解：大顶堆与小顶堆： （优先级队列_加瓦不加班的博客-CSDN博客）
堆实现
计算机科学中，堆是一种基于树的数据结构，通常用完全二叉树实现。
什么叫完全二叉树？
答：
1.除了最后一层不用满足有两个分支，其他层都要满足有两个分支
2.如果再往完全二叉树中加一个节点，那么必须靠左添加，从左往右依次填满，左边没有填满之前，右边就不能填，如图：
添加前：
添加后：
堆的特性如下：堆分为两种：大顶堆与小顶堆
在大顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value >= C.value：父节点的值>=子节点的值
而小顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value <= C.value：父节点的值<=子节点的值
最顶层的节点（没有父亲）称之为 root 根节点
例1 - 满二叉树（Full Binary Tree）特点：每一层都是填满的
例2 - 完全二叉树（Complete Binary Tree）特点：最后一层可能未填满，靠左对齐
大顶堆
大顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value >= C.value：父节点的值>=子节点的值
代码实现：
/**
* @BelongsProject: arithmetic
* @BelongsPackage: com.hzp.algorithm.heap
* @Author: ASUS
* @CreateTime: 2023-10-02 10:41
* @Description: TODO 大顶堆Plus_增加了堆化等方法
* @Version: 1.0
*/
public class MaxHeap {
int[] array;
int size;
public MaxHeap(int capacity) {
this.array = new int[capacity];
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
//注意:当传入的数组是null时，我们可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
if(isEmpty()){
throw new IllegalArgumentException("数组有问题");
}
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
//从索引位置0开始下潜
down(0);
return top;
}
private boolean isEmpty(){
if(size==0){
return true;
}
return false;
}
/**
* 删除指定索引处元素 这个方法与删除堆顶元素方法思路一样
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
if(isEmpty()){
throw new IllegalArgumentException("数组有问题");
}
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
* @return 是否添加成功
*/
public boolean offer(int offered) {
if (size == array.length) {
return false;
}
up(offered);
size++;
return true;
}
//向堆的尾部添加元素： 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
if (offered > array[parent]) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public MaxHeap(int[] array) {
this.array = array;
this.size = array.length;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 ：套用公式 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int max = parent;
//left < size:必须是有效的索引 不可能超出数组最大长度吧
if (left < size && array[left] > array[max]) {
max = left;
}
if (right < size && array[right] > array[max]) {
max = right;
}
if (max != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(max, parent);
down(max);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
// MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
// System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
//TODO 利用堆来实现排序
//1. heapify 建立大顶堆
//2. 将堆顶与堆底交换（最大元素被交换到堆底），缩小并下潜调整堆
//3. 重复第二步直至堆里剩一个元素
int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//1. heapify 建立大顶堆
MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
//3. 重复第二步直至堆里剩一个元素
while(maxHeap.size>1){
//将堆顶与堆底交换（最大元素被交换到堆底），缩小并下潜调整堆
maxHeap.swap(0, maxHeap.size-1);
maxHeap.size--;
maxHeap.down(0);
}
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
}
}
小顶堆
小顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value <= C.value：父节点的值<=子节点的值
代码实现：
/**
* @BelongsProject: arithmetic
* @BelongsPackage: com.hzp.algorithm.heap
* @Author: ASUS
* @CreateTime: 2023-10-02 10:41
* @Description: TODO 小顶堆Plus_增加了堆化等方法
* @Version: 1.0
*/
public class MinHeap {
int[] array;
int size;
public MinHeap(int capacity) {
this.array = new int[capacity];
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
//注意:当传入的数组是null时，我们可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
if(isEmpty()){
throw new IllegalArgumentException("数组有问题");
}
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
//从索引位置0开始下潜
down(0);
return top;
}
private boolean isEmpty(){
if(size==0){
return true;
}
return false;
}
public boolean isFull(){
return size==array.length;
}
/**
* 删除指定索引处元素 这个方法与删除堆顶元素方法思路一样
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
if(isEmpty()){
throw new IllegalArgumentException("数组有问题");
}
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
* @return 是否添加成功
*/
public boolean offer(int offered) {
if (size == array.length) {
return false;
}
up(offered);
size++;
return true;
}
//向堆的尾部添加元素： 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
if (offered < array[parent]) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public MinHeap(int[] array) {
this.array = array;
this.size = array.length;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 ：套用公式 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int min = parent;
//left < size:必须是有效的索引 不可能超出数组最大长度吧
if (left < size && array[left] < array[min]) {
min = left;
}
if (right < size && array[right] < array[min]) {
min = right;
}
if (min != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(min, parent);
down(min);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
// MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
// System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
//1. heapify 建立小顶堆
//2. 将堆顶与堆底交换（最大元素被交换到堆底），缩小并下潜调整堆
//3. 重复第二步直至堆里剩一个元素
int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//1. heapify 建立大顶堆
MinHeap maxHeap = new MinHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
//3. 重复第二步直至堆里剩一个元素
while(maxHeap.size>1){
//将堆顶与堆底交换（最大元素被交换到堆底），缩小并下潜调整堆
maxHeap.swap(0, maxHeap.size-1);
maxHeap.size--;
maxHeap.down(0);
}
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
}
}
完全二叉树可以使用数组来表示
那完全二叉树显然是个非线性的数据结构，但是它存储的时候可以使用线性的数组结构来存储数据：
特征
如果从索引 0 开始存储节点数据
节点 i 的父节点为 floor((i-1)/2)，当 i>0 时
节点 i 的左子节点为 2i+1，右子节点为 2i+2，当然它们得 < size
如果从索引 1 开始存储节点数据
节点 i 的父节点为 floor(i/2)，当 i > 1 时
节点 i 的左子节点为 2i，右子节点为 2i+1，同样得 < size
堆的优化
以大顶堆为例，相对于之前的优先级队列，增加了堆化等方法：
public class MaxHeap {
int[] array;
int size;
public MaxHeap(int capacity) {
this.array = new int[capacity];
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
//注意:当传入的数组是null时，我们可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
//从索引位置0开始下潜
down(0);
return top;
}
/**
* 删除指定索引处元素 这个方法与删除堆顶元素方法思路一样
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
//注意:当传入的数组是null,可以设置一个判断来抛个异常，在这里我们就不去判断，请有需要的自行
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
* @return 是否添加成功
*/
public boolean offer(int offered) {
if (size == array.length) {
return false;
}
up(offered);
size++;
return true;
}
//向堆的尾部添加元素： 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
if (offered > array[parent]) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public MaxHeap(int[] array) {
this.array = array;
this.size = array.length;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 ：套用公式 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int max = parent;
//left < size:必须是有效的索引 不可能超出数组最大长度吧
if (left < size && array[left] > array[max]) {
max = left;
}
if (right < size && array[right] > array[max]) {
max = right;
}
if (max != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(max, parent);
down(max);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
}
}Floyd 建堆算法作者（也是之前龟兔赛跑判环作者）：
如果对龟兔赛跑判环不了解的可以查看此文章：
-
找到最后一个非叶子节点 （叶子节点：没有孩子的节点）
-
从后向前，对每个节点执行下潜
一些规律
-
一棵满二叉树节点个数为 2^h-1，如下例中高度 h=3 节点数是 2^3-1=7
-
非叶子节点范围为 [0, size/2-1]
算法时间复杂度分析
下面看交换次数的推导：设节点高度为 3
每一层的交换次数为：节点个数*此节点交换次数，总的交换次数为
即 h:总高度 i:本层高度
在 Wolfram|Alpha: Computational Intelligence 输入
Sum[\(40)Divide[Power[2,x],Power[2,i]]*\(40)i-1\(41)\(41),{i,1,x}]
推导出
通用堆
通用heap :可以扩容的 heap, max 用于指定是大顶堆还是小顶堆
/**
* @BelongsProject: arithmetic
* @BelongsPackage: com.hzp.algorithm.heap
* @Author: ASUS
* @CreateTime: 2023-10-02 15:56
* @Description: TODO 通用heap :可以扩容的 heap, max 用于指定是大顶堆还是小顶堆
* @Version: 1.0
*/
public class Heap {
int[] array;
int size;
boolean max;
public int size() {
return size;
}
//当max为true则为大顶堆 如果是false则为小顶堆
public Heap(int capacity, boolean max) {
this.array = new int[capacity];
this.max = max;
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
down(0);
return top;
}
/**
* 删除指定索引处元素
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
*
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
*/
public void offer(int offered) {
if (size == array.length) {
grow();
}
up(offered);
size++;
}
//如果容量不够就进行扩容
private void grow() {
int capacity = size + (size >> 1);
int[] newArray = new int[capacity];
//将原有的数组重新放到扩容好的数组中
System.arraycopy(array, 0,
newArray, 0, size);
array = newArray;
}
// 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
boolean cmp = max ? offered > array[parent] : offered < array[parent];
if (cmp) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public Heap(int[] array, boolean max) {
this.array = array;
this.size = array.length;
this.max = max;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int min = parent;
if (left < size && (max ? array[left] > array[min] : array[left] < array[min])) {
min = left;
}
if (right < size && (max ? array[right] > array[min] : array[right] < array[min])) {
min = right;
}
if (min != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(min, parent);
down(min);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
}
