这篇文章的目的是指导读者逐步使用R编程语言实现Nelson-Siegel模型的步骤。

最近我们被客户要求撰写关于Nelson-Siegel模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。

您可能已经知道，估计利率期限结构是任何资产定价的关键，因此对投资者和政策制定者起着重要的作用。想法是使一条连续曲线适合现有数据。就是说，给定可获取的利率和相应的到期日（通过彭博社或任何其他数据提供商），可以使用Nelson-Siegel方法得出利率的期限结构。

• R或RStudio

• LIBOR / OIS利率和相应的到期日（通过彭博社或其他数据提供商）

一点理论…

在开始执行模型之前，让我们回顾一下基础知识。

Nelson-Siegel零息债券的到期收益率：

零息债券价格：

优化问题：

这个想法是两个价格应该相等。因此，我们想找到使两个价格之间的平方差平方和最小的Nelson-Siegel因素。

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实施模型的步骤

 第1步：数据导入和变量定义

• 我们导入LIBOR / OIS利率和相应的到期日，对其进行过滤，然后将其存储在数据框中。
• 然后，我们使用导入的LIBOR / OIS汇率计算每个到期日的零息票价格。
• 我们最终计算出最长（50年）和最短（1个月）到期的到期收益率（YTM）。
  • 为了简化步骤2中描述的网格搜索和步骤3中描述的优化问题，我们将近似 并使用50年和1个月的YTM。
    •  可以用50年的YTM来近似。
    •  可以通过50年期和1个月YTM之间的差异来近似估算。

 步骤2：对目标函数进行编程

• 我们对函数进行编程，该函数计算LIBOR / OIS利率给出的零息债券价格与Nelson-Siegel模型给出的零息债券价格之间的平方偏差的平方和。

 步骤3：网格搜索

• 我们定义为我们的参数范围 ：

• 我们创建一个包含所有可能的组合矩阵 。
• 我们选择产生最小平方偏差总和的组合作为我们的初始参数，以插入优化问题。

 步骤4：优化问题

•  ，我们可以解决非线性优化问题：
  • 初始参数（x0）是在网格搜索中找到的参数。
  • 目标函数（eval_f）是在步骤2中编程的目标函数。
  • 上限和下限（ub和lb）定义如下：

 步骤5：调整模型

此时获得完美契合的机会非常渺茫。必须重复步骤3和4调整模型。进一步来说：

• 我们必须围绕步骤5中获得的结果执行第二次网格搜索，搜索范围较窄，然后重新运行优化问题。
  • 您可能还想尝试使用不同的参数组合，得出平方偏差的第二，第三或第四最小和。
• 我们也将要执行的最后一个网格搜索 在第二轮优化得到的数值。
• 技巧 –在模型中尝试不同的初始参数时，针对LIBOR / OIS Bloomberg数据点绘制通过求解参数获得的最终收益曲线，以了解其拟合程度。没有完美的方法可以完成–这是一个反复试验的过程。  

 步骤6：绘制估计的收益曲线

现在，我们有了Nelson-Siegel因子，可以估算出收益率曲线：

 

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结果与结论

下图以红色显示了所获得的LIBOR收益率曲线。彭博LIBOR / OIS汇率以绿色显示。

尽管曲线可以很好地拟合数据点，但是我们可以看到拟合并不完美。Nelson-Siegel模型的替代方案是Svensson模型，该模型增加了两个参数以实现更好的拟合。

Svensson模型–零票息收益率：

实施Svensson模型的步骤与实施Nelson-Siegel模型的步骤相同。

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