排序：堆排序算法分析以及插入删除操作

news2024/11/26 5:44:58

堆排序可以看作顺序存储的完全二叉树。
堆排序属于选择排序的一种，
选择排序:每一趟在待排序元素中选取关键字最小(或最大）的元素加入有序子序列。

1.堆的定义

若n个关键字序列 $L [1... n]$ 满足下面某一条性质，则称为堆(Heap) :

若满足∶ $L (i) \geq L (2 i) 且 L (i) \geq L (2 i + 1) (1 \leq i \leq n /2)$ ：大根堆(大顶堆)
若满足: $L (i) \leq L (2 i) 且 L (i) \leq L (2 i + 1) (1 \leq i \leq n /2)$ ：小根堆(小顶堆)

堆可以看作是一个完全二叉树的排列：

大根堆：完全二叉树中，根≥左、右。‘
小根堆︰完全二叉树中，根≤左、右。

1.与二叉树的顺序存储的联系

层序遍历以下二叉树：
在这里插入图片描述
1.常考的基本操作：

i的左孩子： $2 i$
i的右孩子： $2 i + 1$
i的父节点： $[\frac{i}{2}]$ （向下取整）
i所在的层次： $log_2(n + 1)或[log_2n](向下取整)+ 1$

2.若完全二叉树中共有n个结点，则

判断i是否有左孩子： $2 i <= n$
判断i是否有右孩子： $2 i + 1 <= n$
判断i是否是叶子/分支结点?： $i > [n /2] (向下取整)$

2.建立大根堆

根据大根堆的特性︰ $根 \geq 左、右$

1.思路

把所有非终端结点都检查一遍，是否满足大根堆的要求，如果不满足，则进行调整
检查当前结点是否满足根≥左、右,
若不满足，将当前结点与更大的一个孩子互换.
若元素互换破坏了下一级的堆，则采用相同的方法继续往下调整(小元素不断“下坠”)

2.代码实现

//将以k 为根的子树调整为大根堆
void HeadAdjust(int A[], int k, int len) {
    A[0] = A[k];//A[0]暂存子树的根结点
    for (int i = 2 * k; i <= len; i *= 2) {
        //汇key较大的子结点向下筛选
        if (i < len && A[i] < A[i + 1])
            i++;//取key较大的子结点的下标
        if (A[0] >= A[i])break;//筛选结束
        else {
            A[k] = A[i];//将A[i]调整到双亲结点上
            k = i;//修改k值，以便继续向下筛选
        }
    }
    A[k] = A[0];//被筛选结点的值放入最终位置
}

//建立大根堆
void BuildMaxHeap(int A[], int len) {
    for (int i = len / 2; i > 0; i--)//从后往前调整所有非终端结点
        HeadAdjust(A, i, len);
}

3.基于大根堆进行排序

1.原理

堆排序:每一趟将堆顶元素加入有序子序列(与待排序序列中的最后一个元素交换)
并将待排序元素序列再次调整为大根堆(小元素不断“下坠”)
注意:基于大根堆的堆排序得到“递增序列”，基于小根堆的堆排序得到“递减序列”。

2.代码实现

//堆排序的完整逻辑
void HeapSort(int A[], int len) {
    BuildMaxHeap(A, len);//初始建堆
    for (int i = len; i > 1; i--) {// n-1趟的交换和建堆过程
        swap(A[i], A[1]);//堆顶元素和堆底元素交换
        HeadAdjust(A, 1, i - 1);//把剩余的待排序元素整理成堆
    }

}