二叉树详解
- 树的概念及其结构
- 树的概念
- 树的相关概念
- 树的表示方法
- 孩纸兄弟表示法
- 双亲表示法（并查集）
- 树的实际应用
- 二叉树
- 二叉树的概念
- 二叉树的种类
- 二叉树的性质
- 二叉树的存储结构
- 二叉树顺序结构的实现
- 堆的概念及结构
- 堆向上、向下调整法
- 堆的插入
- 堆的删除
- 堆的创建
- 堆实现总代码
- 建堆时间复杂度的证明
- 堆排序
- TopK问题
- 二叉树链式结构的实现
- 创建二叉树
- 前序遍历及其实现
- 中序遍历及其实现
- 后序遍历及其实现
- 销毁二叉树
- 求二叉树的高度
- 求二叉树总节点个数
- 求二叉树叶子节点个数
- 求二叉树第k层节点个数
- 二叉树查找值为x的节点
- 二叉树总代码实现
- 层序遍历
- 判断是否为二叉树
- 总代码
铁汁们，今天给大家分享一篇二叉树全面知识总结，来吧，开造⛳️
树的概念及其结构
树的概念
树的概念：是一种非线性的数据结构，它由n个有限的节点组成的一个具有层次关系的集合。树的结构类似于真实世界中的树，它看起来就像一颗倒挂着的树，即：它的根是朝上的，而叶子是朝下的。
说明：
1.有一个特殊的节点，根节点，该节点没有父节点（前驱节点）；
2.根节点除外，其他节点被分成了M个互不相交的集合{a1, a2, a3…},每个集合又是一颗结构类似的子树（每个子树又可以被分成根节点、左子树、右子树）——》递归思想，把大事化小，树是递归定义的；
3.其他节点都有一个父节点（前驱节点），并且可以有零个或多个子节点（后继节点）。一个节点可以有一个或多个子节点，但每个节点最多只能有一个父节点 ——》说明子树是不相交的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
树的相关概念
树的表示方法
树形结构的线性表：树在进行存储时，既要保存值域，也要保存各个节点之间的关系。
树的表示方法：双亲表示法、孩纸兄弟表示法、孩纸表示法、孩纸双亲表示法等（多叉树）。
孩纸兄弟表示法
孩纸兄弟表示法：让根节点指向第一个节点，让第一个节点指向靠的最近的兄弟节点，依次往后，直到无兄弟节点和兄弟节点无第一个节点。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
typedef int DataType;
typedef struct Node //孩纸兄弟表示法
{
struct Node* firstchild;
struct Node* secondchild;
DataType val; //值域
}Node;
int main()
{
Node* parent; //从根节点开始
Node* child = parent->firstchild; //让根节点指向第一个节点
while (child)
{
printf("%d ", child->val);
child = child->secondchild; //第一个节点指向靠的最近的兄弟节点
}
return 0;
}
双亲表示法（并查集）
//c++实现代码：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream> //合并查集（最基本版：用来1.合并两个集合， 2.查找两个数是否在一个集合内）
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
//每个集合都用一个树来表示，树的编号就是整个集合的编号，每个数都有个树根。每个节点用来存储其父节点，p[x]表示节点x的父节点
//判断每个集合的树根，p[x] == x
//求x的集合编号，while(p[x] != x) x = p[x];
//将两个集合编号合并，因px是x的集合编号，py是y的集合编号，p[x] = y(让x所在的集合变为y所在集合的儿子）或者p[y] = x（让y所在的集合变为x所在集合的儿子)
int p[N];
int find(int x) //查找每个数的树根（集合编号）+路径压缩（因每个节点均向上找树根，当一个节点找到了树根，则该节点所在的路径上所有的点父节点直接等于树根）
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; //因每个数都在不同的集合中，让集合的编号的本身（p[x] == x,树根）
while (m--)
{
char op[2];
int a, b;
cin >> op >> a >> b;
if (*op == 'I') p[find(a)] = find(b); //两个集合的合并
else //判断两数所在的集合是否相同，即：判断树根值是否向他
{
if (find(a) == find(b)) printf("YES\n"); //相同
else printf("NO\n"); //不相同
}
}
return 0;
}
树的实际应用
树的应用：用于表示文件系统的目录,表示方法为孩子兄弟法。
二叉树
二叉树的概念
二叉树定义：是由有限节点组成的集合，该集合可能为空（空树），或不为空（由一个根节点加上左子树和右子树组成）。
注意：
1.二叉树度小于等于2。
2.二叉树不存在度大于2的节点。
3.二叉树有左、右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树也为有序树。
二叉树都是由以下几种情况的树复合而成的：
二叉树的种类
特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树。
1.满二叉树：
一个二叉树，每一层节点达到了最大值（度等于2），则这个二叉树为满二叉树。
注意：满二叉树高度为h，满二叉树总结点树为2^n-1个。
现实生活中的满二叉树：
2.完全二叉树：
二叉树深度为n,1.我是文本 红色red前n-1层结点数都要达到最大值（度为2），最后一层结点数不一定达到最大值，但最后一层节点一定是从左到右排布的。完全二叉树是一种特殊的满二叉树。
注意：完全二叉树的总结点个数范围为[ 2^(n-1), 2^n-1]。
二叉树的性质
题目：
二叉树的存储结构
二叉树一般可分为两种结构存储,一种为顺序存储，一种为链式存储。
1.顺序存储
顺序结构存储数据实质就是用数组来存储，一般数组只适用于存储满二叉树、完全二叉树，若存储普通的二叉树则会造成空间浪费，堆、栈、顺序表均为顺序存储结构，均用数组来存储数据。二叉树顺序存储在逻辑结构上是一颗二叉树（想象出来的结构），在 color = red>物理结构上是一个数组（实际存在的)。
2.链式存储
二叉树链式存储：
用链表来表示二叉树节点之间的逻辑关系，通常链表中每个节点由三个域组成，数据域和左、右指针域，左、右指针域分别存储该节点的左、右孩子的地址，根节点通过其左右子节点指针连接到左右子树，子节点可以依次连接到它们的子树。链式结构又可以分为二叉链、三叉链。
二叉链：
每个节点包含数据元素和指向左右子节点的指针。通过这个指针，可以实现从子节点到父节点的访问。二叉链结构使得在树中的任意节点上，能够直接访问其父节点，方便进行反向操作。但要注意，根节点的父节点指针为空。
三叉链：
每个节点除了包含数据元素和指向左右子节点的指针之外，还包含一个指向父节点的指针。三叉链结构使得在树中的任意节点上，能够同时访问其父节点和子节点，方便进行各种树的操作。
二叉树顺序结构的实现
堆的概念及结构
堆：堆中所有的元素按完全二叉树的顺序全部存储到一维数组中，当根节点的值<=左、右子树的根节点的值，任意父亲节点值<=左、右孩纸节点的值，则该堆为小堆；当根节点的值>=左、右子树的根节点的值，任意父亲节点值>=左、右孩纸节点的值，则该堆为大堆。
注意：堆的性质：
1.任意父亲节点值<=(或者>=)左、右孩纸节点的值。
2.堆的逻辑结构为完全二叉树（堆是一颗完全二叉树），物理结构为数组。
堆向上、向下调整法
给出一个数组，就可以画出其对应得完全二叉树，通过向上或向下调整法可以将其调整为一个小堆。
向上、向下调整法使用前提：左、右子树必须都为堆。
向上调整法：从根节点的左结点开始，从左到右依次调整每一层的所有节点形成堆。
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) //（使用前提：左、右子树均为堆）向上调整，从根节点的左结点开始，数据从上往下依次向上调整形成堆
{
int parent = (child - 1) / 2; //父亲节点（找父亲节点）
while (child > 0) //
{
if (a[child] < a[parent]) //该节点与父节点值进行比较
swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆
child = parent; //递归
parent = (child - 1) / 2;
}
}
向下调整法：从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整每个节点形成堆。
void AdjustDown(int* a, int n, int parent) //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{
int child = parent * 2 + 1; //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小（找孩纸节点）
while (child < n) //
{
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大
swap(&a[child], &a[child + 1]); //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值
if (a[child] < a[parent]) //左孩子值与父节点值进行比较
swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆
parent = child; //递归
child = parent * 2 + 1;
}
}
堆的插入
思路：将数据直接插入到最后一个位置，新插入的元素在向上调整。
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) //向堆中插入一个元素
{
assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
if (hp->size == hp->capacity) //空间满了，不能进行插入数据，如需插入数据，需要realloc进行扩容
{
int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; //新容量
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
if (tmp == NULL) //realloc开辟失败
{
perror("realloc failed");
exit(-1);
}
hp->a = tmp; //realloc开辟成功
hp->capacity = newcapacity; //容量进行更新为新容量
}
hp->a[hp->size] = x; //在末尾插入一个元素
hp->size++;
AdjustUp(hp->a, hp->size - 1); //在将新插入的元素进行向上调整形成堆
}
堆的删除
思路：将堆中最后一个元素覆盖堆顶元素，堆顶元素在向下调整。
void HeapPop(Heap* hp) //删除堆顶元素
{
assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
hp->a[0] = hp->a[hp->size-1]; //将最后一个元素覆盖堆顶元素
hp->size--;
AdjustDown(hp->a, hp->size, 0); //在将堆顶元素进行向下调整形成堆
}
堆的创建
void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n) //建堆（堆的创建）
{
assert(hp && b); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n); //malloc动态开辟数组空间
if (hp->a == NULL) //malloc动态开辟失败
{
perror("malloc failed");
exit(-1); //异常退出，终止程序，（非0值表示不正常退出，0表示正常退出）
}
memcpy(hp->a, b, sizeof(HPDataType) * n); //此处需要将已知的数组建成堆，将数组中所有值拷贝给动态开辟的数组
hp->size = hp->capacity = n;
for (int i = (n-2)/2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从倒数第一个非叶子节点开始调整，层数依次向上，每层从右到左遍历每个节点，每个节点都向下调整
AdjustDown(hp->a, n, i);
}
堆实现总代码
Heap.h
#pragma once //用数组来模拟实现堆（顺序表实现）
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h> //malloc
#include<assert.h> //assert
#include<string.h> //memcpy
typedef int HPDataType;
typedef struct HeapNode //动态版
{
HPDataType* a; //malloc动态开辟数组空间，存储每个节点的值
int size; //表示堆中实际有效节点的总个数
int capacity; //容量
}Heap;
//传址调用，此处只需要改变结构体中的成员变量，只需要传结构体的地址，形参为一级指针（顺序表），若需要改变结构体的地址，则形参为二级指针（单链表）。
void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n); //建堆（堆的创建）
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x); //向堆中插入一个元素
void HeapDestory(Heap* hp); //销毁
void HeapPop(Heap* hp); //删除堆顶元素
HPDataType HeapTop(Heap* hp); //获取堆顶元素
int HeapSize(Heap* hp); //获取堆中有效节点的总个数
int HeapEmpty(Heap* hp); //判断堆是否为空
void HeapPrint(Heap* hp); //打印堆中节点的值
Heap.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
void swap(int* p1, int* p2) //交换两元素的值，传址调用，传值调用（形参的改变不会影响实参的改变）
{
int tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int parent) //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{
int child = parent * 2 + 1; //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小
while (child < n) //
{
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大
swap(&a[child], &a[child + 1]); //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值
if (a[child] < a[parent]) //左孩子值与父节点值进行比较
swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆
parent = child; //递归
child = parent * 2 + 1;
}
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) //（使用前提：左、右子树均为堆）向上调整，从根节点的左结点开始，数据从上往下依次向上调整形成堆
{
int parent = (child - 1) / 2; //父亲节点
while (child > 0) //
{
if (a[child] < a[parent]) //该节点与父节点值进行比较
swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆
child = parent; //递归
parent = (child - 1) / 2;
}
}
void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n) //建堆（堆的创建）
{
assert(hp && b); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n); //malloc动态开辟数组空间
if (hp->a == NULL) //malloc动态开辟失败
{
perror("malloc failed");
exit(-1); //异常退出，终止程序，（非0值表示不正常退出，0表示正常退出）
}
memcpy(hp->a, b, sizeof(HPDataType) * n); //此处需要将已知的数组建成堆，将数组中所有值拷贝给动态开辟的数组
hp->size = hp->capacity = n;
for (int i = (n-2)/2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从倒数第一个非叶子节点开始调整，层数依次向上，每层从右到左遍历每个节点，每个节点都向下调整
AdjustDown(hp->a, n, i);
}
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) //向堆中插入一个元素
{
assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
if (hp->size == hp->capacity) //空间满了，不能进行插入数据，如需插入数据，需要realloc进行扩容
{
int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; //新容量
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
if (tmp == NULL) //realloc开辟失败
{
perror("realloc failed");
exit(-1);
}
hp->a = tmp; //realloc开辟成功
hp->capacity = newcapacity; //容量进行更新为新容量
}
hp->a[hp->size] = x; //在末尾插入一个元素
hp->size++;
AdjustUp(hp->a, hp->size - 1); //在将新插入的元素进行向上调整形成堆
}
void HeapDestory(Heap* hp) //销毁
{
assert(hp);//断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
free(hp->a); //释放malloc动态开辟的空间
hp->a = NULL; //防止该空间被其他变量存储了该地址，通过该地址访问此空间，不能访问已经释放的空间，会造成野指针
hp->size = hp->capacity = 0;
}
void HeapPop(Heap* hp) //删除堆顶元素
{
assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作
hp->a[0] = hp->a[hp->size-1]; //将最后一个元素覆盖堆顶元素
hp->size--;
AdjustDown(hp->a, hp->size, 0); //在将堆顶元素进行向下调整形成堆
}
HPDataType HeapTop(Heap* hp) //获取堆顶元素
{
return hp->a[0];
}
int HeapSize(Heap* hp) //获取堆中有效节点的总个数
{
return hp->size;
}
int HeapEmpty(Heap* hp) //判断堆是否为空，为空，则为true,不为空，则为false
{
if (hp->size > 0) return 0;
else return 1;
}
void HeapPrint(Heap* hp) //打印堆中节点的值
{
assert(hp);
for (int i = 0; i < hp->size; i++) //遍历堆中元素（通过数组的下标来遍历完全二叉树中的每个节点）
printf("%d ", hp->a[i]);
printf("\n");
}
Test.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include"Heap.h"
int main()
{
Heap hp;
int b[4] = { 3, 2, 1 ,4};
int n = sizeof(b) / sizeof(int);
HeapCreat(&hp, b, n);
HeapPrint(&hp);
for (int i = 0; i < 5; i++)
{
int x;
scanf("%d", &x);
HeapPush(&hp, x);
}
HeapPrint(&hp);
HeapPop(&hp);
HeapPrint(&hp);
printf("%d\n", HeapTop(&hp));
printf("%d\n", HeapSize(&hp));
if (HeapEmpty(&hp))
printf("YES\n");
else
printf("NO\n");
HeapDestory(&hp);
return 0;
}
建堆时间复杂度的证明
堆排序
注意：在进行堆排序建堆时：升序，建大堆、 降序，建小堆。
原因：堆排序是为了对数组进行排序，不是进行打印数组，便于进行其他一系列操作。
排升序，如果建小堆，只可以第一次获得最小的数，若要将剩余的元素进行排升序，只能将剩余的元素看成个堆，但各个元素对应的节点之间的关系已全部打乱，需要将剩余的元素重新建成堆，代价太大，时间复杂度为O(n*longn)。
排升序，建大堆，将第一个最大的数与最后一个元素进行交换，个数减1，在从剩余的n-1个找出次大的数，在与最后一个元素交换，个数减1，如此反复，时间复杂度为O(nlong)。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
void swap(int* p1, int* p2) //传址调用，形参的改变会影响实参的改变
{
int tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void down(int* a, int n, int parent) //向下调整法建堆，建大堆
{
int child = parent * 2 + 1; //左孩纸节点
while (child < n) //边界
{
if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])//找到左孩纸与右孩纸节点中的最大值
swap(&a[child], &a[child + 1]);
if(a[parent] < a[child]) //建大堆
swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child; //循环处理
child = parent * 2 + 1;
}
}
void Heapsort(int* a, int n) //堆排序，对数组进行排序，升序，建大堆
{
for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从下标为（i-1-1)/2的节点开始
down(a, n, i);
int end = n - 1; //最后一个元素所对应的下标值
while (end > 0)
{
swap(&a[0], &a[end]); //堆中最大的树与最后一个树进行交换
down(a, end, 0); //将剩余的n-1个元素建大堆
end--;
}
for (int i = 0; i < 6; i++)
printf("%d ", a[i]);
}
int main()
{
int a[6];
for (int i = 0; i < 6; i++)
scanf("%d", &a[i]);
Heapsort(a, sizeof(a) / sizeof(int)); //堆排序
return 0;
}
TopK问题
TopK问题：
求数据中的前k个大的数或者前k个小的数，该数据个数的范围非常的大，一般情况是建个堆，但在内存中不能一次性将所有数据全部加载到内存中，此时考虑将数据存入文件中，即：在文件中找TopK问题，实际应用场景：世界前500名富豪，游戏中前100名活跃的玩家等。
在文件中找前K个大的数：
1.将所有数据先存入文件中去，在从文件中读取，建成前K个数小堆。
2.在依次将文件中剩余的数据读取，每读取一个数，分别与堆中第一个树进行比较，比它大，两数据值进行交换，该数往下沉建成小堆，如此反复，最终堆中的K个数为文件中最大的前K个数。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h> //malloc, srand
#include<time.h> //time(时间戳）
void swap(int* p1, int* p2) //传址调用
{
int tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int parent) //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{
int child = parent * 2 + 1; //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小
while (child < n) //
{
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大
swap(&a[child], &a[child + 1]); //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值
if (a[child] < a[parent]) //左孩子值与父节点值进行比较
swap(&a[child], &a[parent]); ///交换，形成小堆
parent = child; //递归
child = parent * 2 + 1;
}
}
void CreatNData() //在文件中创造数据
{
int n = 100000;
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w"); //以写的方式将文件打开
if (fin == NULL) //文件打开失败
{
perror("fopen failed");
exit(-1); //异常退出，终止程序（负数）
}
for (int i = 0; i < n; i++) //创造n个随机数
{
int x = rand() % 10000; //数据值得范围为0~9999
fprintf(fin, "%d\n", x); //将n个树写到文件中（"%d\n",每个数据占一行）
}
fclose(fin); //关闭文件
}
/*思路：一、从文件中读出k个数据放在数组中（fscanf，有格式），将k个数建成小堆（不可以是大堆，最大的数据会堵在堆顶不下去）
* 二、依次将文件中剩余的n-k个数据读取过来，与堆顶进行比较，大于，则往下沉
* 此时堆中剩余的k个数为最大的前k个数（且为升序）
*/
void HeapTopK(int k) //topk
{
const char* file = "data.txt";
FILE* fout = fopen(file, "r"); //以读的方式将文件打开
if (file == NULL) //文件打开失败
{
perror("fopen failed");
exit(-1); //异常退出，终止程序（负数）
}
//一、从文件中读出k个数据放在数组中（fscanf，有格式），将k个数建成小堆（不可以是大堆，最大的数据会堵在堆顶不下去）
int* mink = (int*)malloc(sizeof(int) * k); //malloc创造一个动态数组用来存储文件中的前k个数
if (mink == NULL) //malloc开辟失败
{
perror("malloc failed");
exit(-1);//异常退出，终止程序（负数）
}
for (int i = 0; i < k; i++) //从文件中读出k个数据
fscanf(fout, "%d", &mink[i]);
for (int i = (k-2)/2; i >= 0; i--)//将k个数建成小堆
AdjustDown(mink, k, i);
// 二、依次将文件中剩余的n - k个数据读取过来，与堆顶进行比较，大于，则往下沉
int x = 0;
while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)//将文件中剩余的n - k个数据读取
{ //fscanf返回值为读取的个数，读取失败或者读取为NULL,则返回EOF（~EOF(-1）== 0)
if (x > mink[0]) //与堆顶进行比较，大于，则往下沉
mink[0] = x;
AdjustDown(mink, k, 0);
}
for (int i = 0; i < k; i++)
printf("%d ", mink[i]);
free(mink); //释放malloc动态开辟的空间
mink = NULL;
fclose(fout); //关闭文件
}
int main()
{
srand((unsigned int)time(NULL)); //生成随机数srand~time~rand
//CreatNData(); //创造数据
int k;
scanf("%d", &k); //topk
HeapTopK(k);
return 0;
}
二叉树链式结构的实现
创建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i) //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
{
if (a[*i] == '#') // '#'代表空节点
{
(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点
return NULL;
}
BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); //malloc动态开辟内存，创建新节点
if (root == NULL) //malloc动态开辟失败
{
perror("malloc failed");
exit(-1); //终止程序，异常退出，0表示正常退出，非0表示异常退出
}
root->val = a[*i]; //数组中值不为空，将该值赋给新节点
(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点
//该节点的左、右节点均创建完成，该节点在其左、右节点进行链接
root->left = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建左节点，左节点遇到空，递归结束
root->right = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建右节点，右节点遇到空，递归结束
return root; //返回树的根节点
}
前序遍历及其实现
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) //前序遍历，根、左、右
{
if (root == NULL) //空树
return ;
printf("%c ", root->val); //根
BinaryTreePrevOrder(root->left); //递归处理左
BinaryTreePrevOrder(root->right); //递归处理右
}
中序遍历及其实现
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) //中序遍历，左、根、右
{
if (root == NULL) //空树
return;
BinaryTreeInOrder(root->left); //递归处理左
printf("%c ", root->val); //根
BinaryTreeInOrder(root->right); //递归处理右
}
后序遍历及其实现
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) //后序遍历，左、右、根
{
if (root == NULL) //空树
return;
BinaryTreePostOrder(root->left); //递归处理左
BinaryTreePostOrder(root->right); //递归处理右
printf("%c ", root->val); //根
}
销毁二叉树
/*采用后序遍历，不可采用前序遍历，原因：销毁根节点之前需要存储左子树的根，便于可以找到左子树，也需要存储右子树的根，便于可以找到右子树*/
void BinaryTreeDestory(BTNode* root) //销毁，后序遍历
{
if (root == NULL) //空树,未动态开辟任何节点
return;
BinaryTreeDestory(root->left); //递归处理左
BinaryTreeDestory(root->right); //递归处理右
free(root); //销毁根
}
求二叉树的高度
int BinaryTreeHeight(BTNode* root) //树的高度
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
int leftheight = BinaryTreeHeight(root->left); //左子树的高度
int rightheight = BinaryTreeHeight(root->right); //右子树的高度
return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1; //找出左、右子树高度大的树+根（+1）
}
求二叉树总节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) //树的总节点个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1; //左子树的节点+右子树的节点+根节点（+1）
}
求二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) //树中叶子节点的个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (root->left == NULL && root->right == NULL) //叶子节点的特征，该左、右节点均为空，则该节点为叶子节点
return 1;
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right); //左子树叶子节点个数+右子树叶子节点个数
}
求二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) //树中第k层节点的总个数，将第k层转换为1层，将k-1层转换为第2层..直到k==1，则为第k层
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (k == 1) //第k层
return 1;
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) //在树中查找是否存在值为x的节点
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (root->val == x) //找到了
return root;
BTNode* ret = NULL;
ret = BinaryTreeFind(root->left, x); //递归左子树
if (ret) //若左子树找到了直接返回
return ret;
ret = BinaryTreeFind(root->right, x); //左子树找不到，在找右子树
if (ret) //右子树找到了直接返回
return ret;
return NULL; //找不到
}
二叉树总代码实现
BinaryTree.h
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h> //malloc
#include<string.h> //strlen
typedef char BTDataType; //二叉树节点值的类型，适用于任意数据类型
typedef struct BinaryTreeNode //树中的节点
{
struct BinaryTreeNode* left; //指针域：左孩纸
struct BinaryTreeNode* right; //右孩纸
BTDataType val; //数据域
}BTNode;
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i); //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);//前序遍历，根、左、右
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root); //中序遍历，左、根、右
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root); //后序遍历，左、右、根
void BinaryTreeDestory(BTNode *root); //销毁
int BinaryTreeHeight(BTNode* root); //树的高度
int BinaryTreeSize(BTNode* root); //树的总节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root); //树中叶子节点的个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k); //树中第k层节点的总个数
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x); //在树中查找是否存在值为x的节点
BinaryTree.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"BinaryTree.h"
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i) //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
{
if (a[*i] == '#') // '#'代表空节点
{
(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点
return NULL;
}
BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); //malloc动态开辟内存，创建新节点
if (root == NULL) //malloc动态开辟失败
{
perror("malloc failed");
exit(-1); //终止程序，异常退出，0表示正常退出，非0表示异常退出
}
root->val = a[*i]; //数组中值不为空，将该值赋给新节点
(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点
//该节点的左、右节点均创建完成，该节点在其左、右节点进行链接
root->left = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建左节点，左节点遇到空，递归结束
root->right = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建右节点，右节点遇到空，递归结束
return root; //返回树的根节点
}
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) //前序遍历，根、左、右
{
if (root == NULL) //空树
return ;
printf("%c ", root->val); //根
BinaryTreePrevOrder(root->left); //递归处理左
BinaryTreePrevOrder(root->right); //递归处理右
}
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) //中序遍历，左、根、右
{
if (root == NULL) //空树
return;
BinaryTreeInOrder(root->left); //递归处理左
printf("%c ", root->val); //根
BinaryTreeInOrder(root->right); //递归处理右
}
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) //后序遍历，左、右、根
{
if (root == NULL) //空树
return;
BinaryTreePostOrder(root->left); //递归处理左
BinaryTreePostOrder(root->right); //递归处理右
printf("%c ", root->val); //根
}
/*采用后序遍历，不可采用前序遍历，原因：销毁根节点之前需要存储左子树的根，便于可以找到左子树，也需要存储右子树的根，便于可以找到右子树*/
void BinaryTreeDestory(BTNode* root) //销毁，后序遍历
{
if (root == NULL) //空树,未动态开辟任何节点
return;
BinaryTreeDestory(root->left); //递归处理左
BinaryTreeDestory(root->right); //递归处理右
free(root); //销毁根
}
int BinaryTreeSize(BTNode* root) //树的总节点个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1; //左子树的节点+右子树的节点+根节点（+1）
}
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) //树中叶子节点的个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (root->left == NULL && root->right == NULL) //叶子节点的特征，该左、右节点均为空，则该节点为叶子节点
return 1;
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right); //左子树叶子节点个数+右子树叶子节点个数
}
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) //树中第k层节点的总个数，将第k层转换为1层，将k-1层转换为第2层..直到k==1，则为第k层
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (k == 1) //第k层
return 1;
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) //在树中查找是否存在值为x的节点
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
if (root->val == x) //找到了
return root;
BTNode* ret = NULL;
ret = BinaryTreeFind(root->left, x); //递归左子树
if (ret) //若左子树找到了直接返回
return ret;
ret = BinaryTreeFind(root->right, x); //左子树找不到，在找右子树
if (ret) //右子树找到了直接返回
return ret;
return NULL; //找不到
}
int BinaryTreeHeight(BTNode* root) //树的高度
{
if (root == NULL) //空树
return 0;
int leftheight = BinaryTreeHeight(root->left); //左子树的高度
int rightheight = BinaryTreeHeight(root->right); //右子树的高度
return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1; //找出左、右子树高度大的树+根（+1）
}
Test.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"BinaryTree.h"
int main()
{
BTDataType arr[] = "ABD##E#H##CF##G##";
int n = strlen(arr);
int j = 0;
BTNode* root = BinaryTreeCreate(arr, n, &j); //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
BinaryTreePrevOrder(root); //前序遍历
printf("\n");
BinaryTreeInOrder(root); //中序遍历
printf("\n");
BinaryTreePostOrder(root); //后序遍历
printf("\n");
printf("%d\n", BinaryTreeHeight(root)); //树的高度
printf("%d\n",BinaryTreeSize(root)); //树的总节点个数
printf("%d\n", BinaryTreeLeafSize(root)); //树中叶子节点的个数
printf("%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3)); //树中第k层节点的总个数
BTNode* ret = BinaryTreeFind(root, 'F'); //在树中查找是否存在值为x的节点
if (ret != NULL)
printf("找到了\n");
else
printf("找不到\n");
BinaryTreeDestory(root); //销毁
return 0;
}
层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) //层次遍历，用队列实现，上一层带下一层，当上一层节点全部出队，则下一层所有节点均入队了
{
Queue plist;
QueueInit(&plist); //初始化队列，队列中用于存储树中的节点
if (root == NULL) //空树
return;
QueuePush(&plist, root); //将根插入队列中
while (!QueueEmpty(&plist)) //
{
BTNode* front = QueueFront(&plist); //获取队头元素
printf("%d ", front->val); //打印树中节点的值
if (front->left) //左孩纸不为空，空节点不能入队
QueuePush(&plist, front->left); //将该节点的左孩子入队
if (front->right) //右孩纸不为空，空节点不能入队
QueuePush(&plist, front->right); //将该节点的右孩子入队
QueuePop(&plist); //删除队头元素
}
printf("\n");
QueueDestroy(&plist); //二叉树的销毁
}
判断是否为二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) //判断其是否为二叉树，最后一层非空节点从左到右连续分布
{
Queue plist;
QueueInit(&plist); //初始化队列，队列中用于存储树中的节点
if (root == NULL) //空树
return;
QueuePush(&plist, root); //将根插入队列中
while (!QueueEmpty(&plist)) //
{
BTNode* front = QueueFront(&plist); //获取队头元素
if (front == NULL) //队头为空节点
break;
QueuePush(&plist, front->left); //左孩纸入队，空节点也需入队
QueuePush(&plist, front->right); //右孩纸入队，空节点也需入队
QueuePop(&plist); //删除非空节点
}
while (!QueueEmpty(&plist)) //
{
BTNode* front = QueueFront(&plist); //获取队头元素
QueuePop(&plist); //删除队头节点
if (front != NULL) //队头为非空节点
{
QueueDestroy(&plist);
return false; //不是完全二叉树
}
QueuePop(&plist); //删除队头节点
}
QueueDestroy(&plist); //销毁
return true; //是完全二叉树
printf("\n");
}
总代码
Tset.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Queue.h"
/*void test()
{
Queue plist;
QueueInit(&plist);
QueuePush(&plist, 1);
QueuePush(&plist, 2);
QueuePush(&plist, 3);
QueuePush(&plist, 4);
QueuePush(&plist, 5);
QueuePush(&plist, 6);
while (!QueueEmpty(&plist))
{
printf("%d ", QueueFront(&plist));
QueuePop(&plist);
}
printf("\n");
QueueDestroy(&plist);
}
int main()
{
test(); //测试队列，先进先出
return 0;
}
*/
BTNode* BuyNode(int x)
{
BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
root->left = NULL;
root->right = NULL;
root->val = x;
return root;
}
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
Queue plist;
QueueInit(&plist);
if (root == NULL)
return;
QueuePush(&plist, root);
while (!QueueEmpty(&plist))
{
BTNode* front = QueueFront(&plist);
printf("%d ", front->val);
if (front->left)
QueuePush(&plist, front->left);
if (front->right)
QueuePush(&plist, front->right);
QueuePop(&plist);
}
printf("\n");
QueueDestroy(&plist);
}
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue plist;
QueueInit(&plist);
if (root == NULL)
return;
QueuePush(&plist, root);
while (!QueueEmpty(&plist))
{
BTNode* front = QueueFront(&plist);
if (front == NULL)
break;
QueuePush(&plist, front->left);
QueuePush(&plist, front->right);
QueuePop(&plist);
}
while (!QueueEmpty(&plist))
{
BTNode* front = QueueFront(&plist);
QueuePop(&plist); //
if (front != NULL)
{
QueueDestroy(&plist);
return false;
}
QueuePop(&plist);
}
QueueDestroy(&plist);
return true;
printf("\n");
}
int main()
{
BTNode* n1 = BuyNode(1);
BTNode* n2 = BuyNode(6);
BTNode* n3 = BuyNode(7);
BTNode* n4 = BuyNode(2);
BTNode* n5 = BuyNode(3);
BTNode* n6 = BuyNode(4);
BTNode* n7 = BuyNode(5);
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
n3->left = n6;
n3->right = n7;
BinaryTreeLevelOrder(n1);
if (BinaryTreeComplete(n1))
printf("是完全二叉树\n");
else
printf("不是完全二叉树\n");
return 0;
}
Queue.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Queue.h"
void QueueInit(Queue* p) //初始化
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
p->front = NULL;
p->rear = NULL;
p->size = 0;
}
void QueuePush(Queue* p, QDataType x) //入队
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
QNode* newnode=(QNode*)malloc(sizeof(QNode)); //malloc动态开辟新的节点
if (newnode == NULL) //开辟空间失败
{
perror("malloc"); //报错原因
exit(-1); //终止程序，异常结束
}
newnode->data = x;
newnode->next = NULL;
if (p->rear == NULL) //注意：头插（特殊处理），链表为空
{
p->front = p->rear = newnode;
}
else //尾插 ，需要找尾节点
{
p->rear->next = newnode;
p->rear=p->rear->next;
}
p->size++; //链表中有效元素个数加+
}
bool QueueEmpty(Queue* p) //判断队列是否为空
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
return p->front == NULL; //为空，则为真，返回非0值，若不为空，为假，则返回0
}
void QueuePop(Queue* p) //出队
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
assert(!QueueEmpty(p)); //断言，链表为空，则不能进行删除
if (p->front->next == NULL) //注意：当链表中只剩一个元素，因为尾指针、头指针同时指向该节点，释放该节点，需要将尾指针、头指针都置成NULL,否则会造成野指针（指向已经被释放的空间）
{
free(p->front);
p->front = p->rear = NULL;
}
else //链表中剩余至少有1个元素
{
QNode* next = p->front->next;
free(p->front);
p->front = next;
}
p->size--; //链表中有效元素个数加-
}
QDataType QueueFront(Queue* p) //获取队头元素
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
assert(!QueueEmpty(p)); //断言，链表为空，则不能获取到队头的元素
return p->front->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* p) //获取队尾元素
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
assert(!QueueEmpty(p)); //断言，链表为空，则不能获取到队尾的元素
return p->rear->data;
}
int QueueSize(Queue* p) //获取队列中有效元素的个数
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
assert(!QueueEmpty(p)); //断言，链表为空，则不能获取到有效元素的总个数
return p->size;
}
void QueueDestroy(Queue* p) //销毁
{
assert(p); //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作
while (p->front) //遍历链表
{
QNode* next = p->front->next;
free(p->front);
p->front = next;
}
p->front = p->rear = NULL;
p->size = 0;
}
Queue.h
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h> //malloc
#include<assert.h> //assert
#include<stdbool.h> //bool类型
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BTDataType val;
}BTNode;
typedef struct QueueNode //链式结构：表示队列
{
QDataType data;
struct QueueNode* next;
}QNode;
typedef struct Queue //队列结构
{
QNode* front; //队头
QNode* rear; //队尾
int size; //有效元素个数
}Queue;
void QueueInit(Queue* p); //初始化
void QueuePush(Queue* p, QDataType x); //入队
void QueuePop(Queue* p); //出队
QDataType QueueFront(Queue* p); //获取队头元素
QDataType QueueBack(Queue* p); //获取队尾元素
int QueueSize(Queue* p); //获取队列中有效元素的个数
bool QueueEmpty(Queue* p); //判断队列是否为空
void QueueDestroy(Queue* p); //销毁
铁铁们，二叉数全面知识总结就到此结束啦，若博主有不好的地方，请指正，欢迎铁铁们留言，请动动你们的手给作者点个👍鼓励吧，你们的鼓励就是我的动力✨
